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Läge dagegen dieser Punct in der gegeb. Ebene selbst, wodurchalso die obige Gleich. I. für x=zx, y=zy~’, z :—z befriedigtwürde, also Aoc Cz- j- D~o wäre; so wäre auch, wie

es scyn soll, P — o.

§. 589 . Aufg. Ein Punct und eine Gerade sind ge-geben , man soll a) die Gleichung der durch diesen Punctauf der Geraden perpendiculären Ebene, und ß ) den Ab-stand dieses Punctes yon dem Durchschnittspunct der Ge-raden und der Ebene bestimmen.

Auflös. a) Sind wieder x', y\ z die Coordin. desgegeb. Punctes und 1 ) [x — az-\-a, jy* = —)— /3J die Gleich,der gegeb.' Geraden ; so ist die Gleichung der durch denPunct x, y, z gehenden Ebene yon der Form I. A(x — x)-{•B(y — J' )~\~C(z — z')—o. Da aber die Gerade t) auf die-ser Ebene I. perpendiculär seyn soll, so mufs [§. 586, 4)]A = aC und B-=zbC seyn, so, dafs wenn man diese Wer-the in I. subst. und die Gleich, durch C abkürzt, man fürdie gesuchte Gleich, erhält:

2 ) a(x — x) + b(y —y) -f (* — s) = o.

§. 590 . ß) Um ferner den Abstand D des Punctesx, y, z yom Durchschnittsp. x, y, z der Geraden i) mitder Ebene 2 ) zu linden, wird man zuerst aus der (dazu nö-thigen) Verbindung der beiden Gleich. 1 ) und 2 ) statt die-ser Coordin. x,y, z sogleich wieder die Differenzen x ■— x ,y — y, z — z bestimmen und in die Form 1 ), §. 549 su b-stituiren. Zur Vereinfachung dieser Verbindung aber brin-gen wir die Gleichungen 1 ) auf die Form;

3)[u'— x=a(z — z')-\-az—x -\-a, y — y'sx=b(z — z)-\?bz —^’-j-ß]und substit. diese Werthe von x — x und y—y in dieGleichung 2 ); so erhalten wir:

(1 -f- cP -f- 6 2 )(s — z) -(- a (az —• « + «) -f b (bz— y'-\-ß) = O,

und daraus : 2 — 2 =

wenn man der Kürzesetzt:

a(x — a) -(- b (y — ß)-{-2' ,

1 4- ( C - 4- b '- *

wegen d (x — a) -j- b (y — ß) *$-

oder

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