377

Drittes Capitel.

Von den krummen Flächen und den Curven vondoppelter Krümmung.

Einleitung.

§. 592 . Ist irgend eine regelmäfsige krumme Flächegegeben, so wird auch ein diese Fläche cliarakterisirendesGesetz zwischen den Coordinaten eines jeden Punctes der-selben Statt finden. Sind daher x, y, z die auf ein Systemvon 3 (wieder rechtw.) coordinirte Ebenen sich beziehen-den Coordinaten eines beliebigen Punctes der Fläche; sowird man, wenn dieses Gesetz oder die cbarakterische Ei-genschaft der Fläche analytisch ausgedrückt wird, auf eineGleich, von der Form F(x,y, z) — o kommen , und dieseGleich., welche sonach alle Puncte der Fläche charakteri-sirt und nur für die Puncte dieser Fläche gilt, also dieseletztere vollkommen bestimmt, heifst Gleich, dieserkrummen Fläche. Wird daraus eine der 3 Variablen,z. B. z ausgedrückt, so erhält diese Gleich, auch die Formz =f (x, y) , und man siebt, dafs dann die beiden Coordin.x,y willkürlich, oder unabhängig variabl sind, währenddie dritte z von ihnen abhängig ist. Nimmt man daher inder coordin. Ebene der xy willkürlich xcs a, y=.b, undfindet man mit diesen Werthen aus der vorigen Gleich, z. B.s = e; so gehört das System der Gleich. x = a, y=z.b,z = c sofort einem Puncte der in Rede stehenden Fläche an.

§. 593 . Eben so ist wieder umgekehrt der Ort einerjeden Gleich, zwischen den 3 veränderlichen Gröfsen x, y,z (als Coordinaten) von der Form F(x,y, z) = o oder auchz = f(x, y) , eine Fläche, deren Natur und Beschaffen-heit von der Natur dieser Gleich, abhängt. — Man kann be-liebig viele Puncte dieser Fläche bestimmen, wenn man inder gegeb. Gleich, von den Variablen zwei beliebig annimmt,z. B. x = cl . y — b setzt, und damit die zugehörigen Wer-the von a = o, c, . . berechnet; nimmt man dann in der