Die C y 1 i n d e r f 1 ä c h e n. ^

§. 598 . E r k 1 . Unter Cylinderflächen verstellt manalle jene Flächen, welche durch die Bewegung einer Ge-raden, der erzeugenden Linie, die dabei beständigdurch eine gegebene Curve, die Leitlinie, geht und miteiner festen Geraden , gewöhnlich die Axe, also auch mitsich seihst parallel bleibt, erzeugt werden.

§• 599 . Um diesen Charakter der Cylinderllächenanalytisch auszudrücken, seyen i) [x = az -J- a, j = bz -j- ( ' 3 ]die Gleich, der erzeugenden Geraden in irgend einer ihrerPositionen, und ($. 5 () 5 ) 2) [F(x,y, s) = 0, F'(x,y, s) =0]die Gleich, der Leitlinie, die im Allgem. eine Curve vondoppelter Krümmung seyn wird. —■ Da nun die erzeugendeGerade fortwährend mit sich seihst parallel bleibt, sobehalten die Gröfsen a, b der Gleich. 1) stets densel-ben Werth (§. 570), dagegen ändern sich die Gröfsen a, ßals Coordin. des Durchschniltspunctes der Geraden 1) mitder Ebene der xy (es folgt nämlich für 2 = 0 sofort z=za,y = ß) von einer Lage dieser erzeugenden Geraden zur an-dern. Geht man nämlich in der Cylinderlläche von einemPunct zu einem andern in der nämlichen erzeug. Gera-den fort, so bleiben dabei a, ß zugleich constant; gehtman dagegen dabei von einer erzeug. Geraden zu einer an-dern (d. h. zu einer andern Position dieser Geraden), sosind beide Gröfsen a, ß zusammen veränderlich; unddaraus folgt, dafs zwischen a und ß eine gewisse Relat. be-stehen , oder eine eine Function der andern seyn mufs;man kann also setzen: y(a, ß) — o oder ß = /(“). Setztman endlich in diese Gleich, für a und ß die aus den Glei-chungen 1) folgenden Werthe, so erhält man als allgemeineGleichung der Cylin der flächen:

3) r — b z = £(x — az).

Dabei findet man die Natur der Function £ durch Verbin-dung der beiden Systeme der Gleich. 1) und 2) , wodurchman nämlich ausdrückt, dafs die erzeugende Linie i) be-ständig durch die Leitlinie 2) geht.