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des vorhergehende nach den ursprünglichen für df(jv) ah*geleiteten Regeln abermals differentiirt und dabei dx alseine constante Gröfse behandelt.

Zusatz. Da,dy _ d-ydx ^ ' dx 1

wenn inan f(x)-=y setzt, sofortdz X ,

= ?’ d^ = r "- Und r ’ • ’ ‘

endliche Gröfsen (nämlich gewisse Functionen von x) sind;so folgt, dafs d y, d 1 y, d z y, . . . beziehungsvv. mit dx, d x 2 ,d xi, . . . von einerlei Ordnung sind.

§. 642. Beispiele über die h ö h e r n Differen-tiale.

1. Für f{x)-=x'i folgt nach der Regel des vorig, §.

d. x n ~n x n —' dx, d 2 . x n — nd x d. xn— ‘ — n (n — l) xn—t dx-,d z . xn = ~n {n — i ){n — 2 ) X *—3 d x z , . . .

d n . x* = n (n — i) . . . 3 .2 . i dx n ,dabei ist, wenn n eine ganze, positive Zahl bezeichnet, diesesletztere Differential eine constante Gröfse, so, dafs alle fol-genden Differentiale von x'‘ Null sind. Hier ist p — nx n ~',q = n(n —i)!' 1 -’ u. s. w., also in der That, jeder dieserQuotienten, wieder eine Funct. von x, »

2 , Für u — Ax a Bxß -j- Cxl -J- . . . hat man eben so:

du = ( Aax a 1 -f- Bßxß 1 . . ,~)dx,

d-u = [A a (a — i) xa ’ 2 + Bß(ß—i)xß~* + . . .]dX*u. s. w. — Ist a —: o, ß = l , y = 2 ... also u — A B X-p C x 2 + . . .; so fällt nach einer jeden Differentiation eineder constanten Gröfsen A , B , C , . . . in derselben Ordnungheraus.

3. Für f(x) = a x erhält man:

d . a x — a x la dx, d 2 . a x — l a dx d. a x = a x la-dxd ^. a x — a x l a z d x*

u. s. w.j hier ist also p — a x la, q — a x la 2 etc,

d v i ■ ] d y*

4. Für f(x) = lx folgt dlx = —1-, d l lx — dxd- — — > ,

x x X 2

1.2 dx z —1,2.3 dx*

dt Ix = -, d*l x — - ; - u. s. w. ; hier sind

xt x*

also die Differentialquotienten :

P —

'7 — —

1 . 2

r = -- etc.

x*

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