5. Ist f(x) = sin x , so findet man d sinx =z cos x d x, d-sinx

dx d cos x = —■ sin x dx *, d^sinx zz, — cos x dx 3 u. s. f.,also p ■=. cos x, q = sin x, r=z. — cosx u. s. w.

6. Eben so erhält man dcosx = — sin x d x ,

d~ cos x = — dx d sin x = — cos x cZx-, fZ 3 cos x — sin xdx 5u. s. w.; hier ist also p=s. — sinx, q = — cos x, rz^sinx

dx

q. Es sey endlich y(x) = arc sin x, so folgt d arc sin x ==

x dx 1

(i 4- 2X 2 ) dx 3

d? arc sin x —

d l arc sin x

V (i—x -) 3

V (i — x'-'-y

hier ist also p —zzrrrz > q —

etc.

V i—x* \/ (i— x 1 ) 3

§. 643. Ist x nicht die unabhängige Variable , son-dern von einer andern Gröfse to abhängig; also y z=zf(x)und x = .F(co); so ist auch dx noch veränderlich, undman hat, mit Beibehaltung der Bezeichnung in §. 641 :

d y = d f O) = pdx,

d' l y = dx dp -|- pd 2 x = dxqdx -j - pd 2 x = qdx 2 pd 2 x ,

d 3 y =3 dx 2 d q -J- q . 2 dx d 2 x -j- d 2 xd p -f- p d 3 x ,oder, wenn man dq = rdx, dp — qdx setzt und reducirt:

d 3 j- = r dx 3 -j- 3 qdxd l x -j- p d 3 x u. s. w.

Zusatz. Aus diesen Relationen folgen der Reihe nach:

dy d 2 y — pdr-x dxd 2 y — dyd 1 x

dx 3

d 3 y — Zqdxd 2 x — p d> x

d x 3

dx"-d 3 y — 3 dx d 2 x d?-y + 3 dyd^-x 1 — dxdyd 3 x

d x i

u. s. w.

§. 644. Wäre in den vorigen Ausdrücken oder Quo-tienten x die unabhängige Variable, also dx con-stant, so erhielte man daraus für die aufeinander folgen-den Differentialquotienten, wie in §. 641 ;

u. s. w.