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so erhält man, wenn man auch gleich statt der ganz will-kürlichen GröfsejK) a. - schreibt:

II) f(x) =

eine Formel (welche gewöhnlich dem Schottländer ColinMaclaurin zugeschrieben wird), um eine jede Functionf(x), welche dazu geeignet ist, in eine nach ganzen, po-sitiven Potenzen von x fortlaufende Reihe zu entwickeln.

§. 652 - Beispiele über diese Formel.

i. Um f(x)z=a* in eine solche Reihe zu entwickeln, hat manmit Rücksicht auf die in §. 642 , 3 . entwickelten DifFerential-quotienten von a x , wenn man überall x — o setzt:

folglich nach der vorigen Formel II):

l a la- l a 3

(Vergl. §. 286.)

2. Für f{x)~lx

wäre

OO

u. s. w. ; zum Beweis, dafs Ix in keine solche Reihe nach xentwickelt werden kann. — Nimmt man dagegen l( 1 -j-x) fürfix), so erhält man für den 1., 2., 3 ., . . . Differentialquo-

tienten

( 1 +*)'

(1 + x)

(>+*) 4

- 1 . 2.3

u. s. w.;

folglich, wenn überall x = o gesetzt wird, wodurch

wird, nach II):

(Vergl. §. 285 .)

3 . Es sey endlich noch f (x) = arc sin x, so ist mit Rücksicht auf

*0 +*) = x — ■ I- w— ■— -—[-204