412 =

die auf einander folgenden Differentialcjuotienten von arcsinx

■»/(:)

(§• 642, 7-) /(f) =

= 0 , 3. Ouot.—-

2 . c

u. s. w.j mithin nacli II):

arcsin 0 = 0 ,

d x

■ — 1 , 2 . Quotient

= 0 , 3. Ouot. —-, 4 . Ouot. = o , 5. Ouot. = •-

2.3 c *- 1.2. 3 .4 .5

arcsinx — x -{-

i.3a: 5 1 . 3.5 xi

+ ■ r\ 1 + •

2.3 2.4.5 ■ 2.4.6.7

(V.crgl. §. 302 , *,) [Mehrere Beispiele hierüber, III., 3y— 4°0

§. 653« Hat man es bei den auf einander folgendenDifferentialquotienten, wie im letztem Beispiele, mit ge-brochenen oder irrationalen Functionen zu thun ; so wer-den die spätem Quotienten immer verwicheiter, und manbann sich in solchen Fällen zur Auflösung der Functionf(x) in eine Reihe, bequemer der folgenden, durch einigeBeispiele erläuterten Methode bedienen.

§. 654 . Beispiele.

1 . Um eine nach einfachen Potenzen von x fortschreitende Reihel'ür arcsinx zu finden, setze man, da hein Glied ohne x vor-Loinmcn liann (indem für x = o auch arcsinx— o ist):arc sin x = A , x A^ x- -f- A z x* -)- . . .

+ AznX'n -j- X™-j~'

Beide Theile dieser Gleich, differentiirt und durch dx abge-kürzt, erhält man:

— — ■ = A l -f- 2 A 2 x -J- 3A 3 x" -j- . . .

V 1 —■ X 1

“ 4 “ in Azn Xm 1 (2/Z -j- 1) Aznfi X 2n ...

*)

Fine allgemeinere Form erhält die IAeihe II), wenn man injener I) (§. 646 ) x=a und^r^a :—a setzt; denn dadurcherhält man (wegen x -J- y — x) :

/ \ d f( X )

f{x) =/[* + (*-«) J = /(*) + —^ (ar-

d x

■a)

d*

+

/(:)

1 .2 dxi

(x ■— a)' ! -j-

Wählt man nun in dieser Beihe [welche in die obige II)übergeht, wenn man a—o setzt] die willhürliclie Gröfse ajedesmal so, dafs x — a sehr klein ausfällt; so kann manihr in manchen Fällen eine bessere Convergenz verschaffen,als jene II) besitzt.