oder, wegen

V/i

= 0 — xZ )

i , 1.3

» = 1 + -n: 1 -j- -X* +

2 .4

+

i. 3 . 5 ... ( 2 n — i)

arm + . . .

2.4.6... 2/i

wenn man diese Reihe substituirt, nach dem Satze der unbest.

i .3

Coeffic.: A x = 1, 2^ 2 = o, 3 A 3 —\, 4^4=0, 5 A S =

2.4

2nAm = o und (2« -j- 1) Am-\-i =

=: 1 , = o, .zL —-r, .zG= o, -4

und =

1. 3 . 5 ... (2« — 1)

also

2. 3i. 3 ... (2/1

i -^4 —')

2.4 • 6 ... 2 /i

, >-a .

ä — - p . . • Am — 0

2 . 4.5

, und damit endlich aus

2.4 . • • 2/1(2/! +1)der hier angenommenen, die vorige Reihe (§. 652 , 3 .).

2. Setzt man eben so, da auch arc tanga = o ist (also kein Gliedohne x Vorkommen kann)

arc tangx z=z A x x A^ocT- -f- A^x^ -f- ... ,differentiirt beiderseits und kürzt die Gleich, durch dx ab;1

so erhält manoder wegen

1 x 2

; A x “ 4 “ 2z/ 2 X " 1 “ 3 -^ 3 X- -f- 1 4^4 " 1 " •** 1

1 -j-x'wickelt: l — x 2 x*

(i-f-x 2 )—>, wenn man diese Potenz ent-

-J- ... = A 1 ~4- 2 A 2 x 4« 3 A 3 x 2

4- 4 A 4 x* -J- . . ., und aus dieser Gleich: A x = 1 , A 2 — o,A 3 = — j, A 4 — o, i s = 4 u. s. w., so wie endlich mit die-sen Werthen: arctangx — x — ja : 5 -J- ix 1 —• j x 7 -4- . . .(Vergl. §.302.)

Um endlich noch (t x t 2 x t 3 x 2 . . .)" in eine Reihenach Potenzen von x zu entwickeln, setze man

(^i *J“ "4" t 3 xF- -4* • . .) n — S4 4* Z 2 a: -f- Sja: 1 . . . ;

so ist auch, wenn man beiderseits natürl. Logarithmen nimmtund hierauf differentiirt:

/I (f 2 -}- 2f 3 a: + 3f 4 x- -f- • • •) _ So -}- 2X5 x 4- 3S 4 a: 2 -4- . . •

-j - t 2 a: -f- t 3 x 2 . . . 2, 4* So x S 3 x 2 -4- . . . ,

oder nach Hinwegschaffung der Rrüche:

TiSjfo + (2/iS,tj + 7iS 2 f 2 )-X 4. (3/iS,f 4 + 2/lSof 3 + »Sjf 2 ) a:~ 4-..

= Sjfi + (2S s t t + SofoJ * + (3S 4 f, + 2S 3 f a + S 2 tj) a:*'.+ ..,aus welcher Gleichung man nach dem oft genannten Satze der