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unbest Coeffic., wenn man früher aus der angenommenen Reihe(indem man wieder ,r = o setzt) — bestimmt hat, sofortn% i t % = So tu + ra S 2 t 2 = aSjfj -j- S 2 t 2 u. s. w.,

also X 2 =s « t, t>, $ 3 = n t a f 3 +--f, t\ u. s. w.,

1.2

und damit endlich die gesuchte, schon in §. n6 entwickelteReihe, d. i. den polynomischen Lehrsatz erhält.

Drittes Capitel.

Das TajloEsche Theorem auf Functionen zweierVariablen ausgedehnt. Die Differentiation der Func-tionen mehrerer Variablen. Die partiellen Differen-tiale. Euler s Lehrsatz der homogenen Functionen,

Das erweiterte Taylor ’sehe Theorem.

§• 655. ®-s sey u = J(x, y) eine Function der bei-

den von einander unabhängigen Variablen x und y , und esgehe «in u über, wenn man darin y als constant ansiehtund x in x-|-A verändert; ferner gehe li in u' über, wennman in u x als constant ansieht und y in y k übergehenläfst, so, dafs also u=f(x -(- h, y) und u=f{x-\-h, y-{-k)ist, wobei h und k zwei ganz beliebige Incrementebezeichnen. Schliefst man ferner die DifFerential-Quotien-

du d'-u _ .

ten —, , < * •» um anzudeuten, dafs in u nur x als

variabl genommen oder blofs nach x differentiirt worden,in Parenthesen ein, und thut dasselbe hinsichtlich der Quo-

. du' d-u' . ,

tienten -—, —- , . . ., in welchen u blols nach r difte-ay dy % J

rentiirt ist; so erhält man nach der Formel I., 646 :

*=• + (*>+(£)£ + (£)£+- “ d

»"= «•+ ( J /) k + - + (±“i)±. + ...

\dy) \dy-J 1 ' \dy*J 2.3 ‘

Nun ist aber nach dem angedeuteten Sinne, wenn man für

u den Werth aus der vorigen Reihe setzt;