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§■ 665. Fs se y u —f{ x iy ) ==0 die gegebene Glei-chung, x die unabhängige Variable undjr die davon abhän-gige oder y=zzf(x). Da alsojr in y-j-dy übergeht, wennsich x in x-\-dx verändert ($. 616), so besteht auch dieGleich.: f(x-\-dx,y-\-dy) = o, und wenn man davon diegegebene abzieht, auch jene 'f{x-\-dx,y-\-dy) — f(,x,y) = o,oder nach der Formel Ä) s §. 655 , wenn man dort h=dx

und k es dy setzt: l ) ^ x ~f~ = °> i.

[§. 657, Gl. 1)] df(x,y)<= o, so angesehen, als ob y vonx unabhängig wäre. Um also aus der Gleich. f(x,y) = o,wo y=ip(x) ist, den 1. Differentialquotienten zu finden,wird man/(i, y) nach 657 so differentiiren, als ob xund j von einander unabhängig wären, dieses Diffe-rential gleich Null setzen, und aus der so gebildeten Gleich.

bestimmen j es folgt nämlich auf diese Weise :

d x

/d u\

s dy __ \dx) *

dx /du\

UyJ

Ist z. B. u = axy" -{-£> = o und y eine Funct. von x , sohat man nach dieser Regel; d(a,xy 2 -f- b) — o, d. i. ay' l dx

-j- 2a xy dy — o, und daraus —■ — — , [Oder wenn man

U X ‘hX

( du\ / du\

~dx) ~ a y' 1 ' \~dyj ~ 2 ax y* auc 1

dy y ...

nach Relat. r): -7— = — ■— 1 . Und in der That, entwickeltdx 2 X

man (was hier möglich ist) die Funct. y aus der gegeb. Gleich.,

so erhält mandy

^ ax ’

by

dx

ax 2 .2y 2 a x 2 y 2

und daraus nach §. 622 :

wegen y* = _

§. 666. Wiederholt man die Schlüsse des vorigenParagraphes, nach welchen wir gefunden haben, dafs füru=f(x,y) — o [obgleich dabei y= 9(x) ist] auch da — oistj so findet man eben so: d 1 u = o, d 3 u — o u. s. w. —