Segm. PM' = f(x + h) —/(*) = ^'* + P** + • • • (5- 646).

Nimmt man ferner statt des Bogens MM' die zugehörigeSehne, so ist

Trapez PM' = •[ (MP -{- M'P) P P'

= r(>+.r + ^A+P'A* + ...)Ä

= y h -j- Ph z -J- Qh 3 -(- . . .;folglich auch, wenn man gleich wieder mit h ab kürzt:

dz

O -n „w ~~i — “4" V h> “4— G rfi “4— • • •

Segm. PM dx ~ r ~ ' ‘

Trap. PM' ~ y + Ph + Qh z + . . . ‘

Da sich nun dieser Quotient hei der unendl. Abnahmevon h wieder ohne Ende der Einheit nähert, und für h — ovollkommen gleich i wird; so hat man daraus, wenn man

dz

gleich mitjpmultiplicirt: y s= —, also das DifferentialderFläche: 2 ) dz=.ydx.

S fiQfl. Um auch noch das Differential des Sectors

Fig. 8o, OS'

a). BAM [Fig. 8o, «)] auszudrücken, hat man

Segm. A MB = Dreieck^ MP -f- Segm. PMB— \ x y + Segm. PMB,

also auch

d .Segm. AM B — ^dxy -f- d.Segm. PMB= ^ xd y + ii dx — y dx

[es ist nämlich d. Segm. PMB =s dz aus derFormel 2 ) unddieses Differential negativ zu nehmen, weil hier, dieAbscissen von A gezählt, mit einer Zunahme von x eineAbnahme von z verbunden, also, wenn dx positiv ist, sofortdz negativ seyn mufs]; es ist also

3) d.Segm.AMB = ^{xdy — ydx).

Für die Elclienelement:

iipse z. B. ist (s. das vorige Beisp.) das Flä-

n) dz = ydx = - dx\/a zJ a

und nach der vorigen Formel 3), nach einer leichten Reduction,