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von die eine in den Abstand \r mit der Abscissenaie, und dieandere in den Abstand o mit der Ordinatenaxe (mit welcher siealso zusammenfällt) parallel läuft.

Kennzeichen, ob eine Curve gegen die A b-scissenaxe concav oder convex sey.

§• 703 . Es seyen für einen beliebigen Punct M derFig.79 Curve BMM" [Fig.79 , a)und4)] AP = x, PM-=r —J(x)^ u ‘ A 'die reebtw. Coordin. und PP’= P'P" = 4 eine beliebigeZunahme der Abscisse, demnach P'M' = f (x -f- 4) undP"M"= J(x -(- 24) die entsprechenden Ordinaten. Ziehtman durch M und M' die Secante SMM'O , und mit AXparallel die Geraden MV, MV', wodurch (wegen Con-gruenz der beiden Dreiecke MM'Q u .MOV) OV = M Qwird; so ist in Fig. 4): M"0 = M"V’ — M'Q, und in Fig. a) :M"0 = M'Q — M" V, also,überhaupt: r) M" V — M'Q= + M"0, je nachdem die Curve in M gegen die Abscis-senaxe convex oder concav ist. ■—■ Nun ist aber mitZubilfnahme der Xoj^Zor’schen Reihe:

M'Q = P'M' — PM = 4^4

x dx

M"V = P"M "— P'M' = 4^

dx

+44? +

4 -j-

dx- 2d *y 34 2d x ^ 2

und

+

folglich: m) M"V — M'Q = -^X4 2 + p4 3 + . . .

Da sich aber unsere Untersuchung nur auf die zu-nächst bei M liegenden Puncte zu erstrecken hat, so kannman 4 wieder so klein annehmen, dafs das Zeichen derDifferenz m), von jenem des 1. Gliedes der Reihe, also

d'^ y

(da 4 1 immer positiv ist) von dem Zeichen von -jA. ab-

hängt; dieses mufs also [Relat'. r)] für Puncte M oberhalbder Abscissenaxe, oder für positive Ordir.aten positivoder negativ seyn, je nachdem die Curve in diesen Punctengegen diese Axe convex oder concav ist; dagegen für Puncteder Curve unterhalb dieser Axe oder für negative Or-dinaten (wie man durch Verlängerung des CurvenastesM"MB , nach abwärts, leicht sieht) gerade umgekehrt in