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diesen beiden Fällen negativ oder positiv seyn: eine Curveist demnach in irgend einem Puncte gegen die Abscissen-axe convex oder concav, je nachdem der 2. Differen-

tialquot. ••• in diesem Puncte mit der entsprechenden Or-

dinate y dasselbe oder das entgegengesetzte Zei-chen besitzt.

Da aus der Gleich, der Parabel y- = px, sofort

d 'X _ _

dx - 4j' 3

folgt, und dieser Quotient immer das entgegengesetzte 'Zeichenvon y erhält; so beweist dieses, dafs die Curve sowohl ober-wie unterhalb der Abscissenaxe gegen diese concav sey.

[III., 162.J

Von den berührenden Curven.

§. 704 . Einleitung. Es seyen i)y=f(x) und2 ) y=s<p die Gleich, zweier Curven QMN und Q MJS’

(Fig. 82), welche einen Punct M, dessen Coordin. AP~x r'i K . 81.und PM — y seyn sollen, mit einander gemein haben.

Läfst man die genannte Abscisse AP = x um ein be-liebiges Stück Pp = h zunehmen und zieht die Ordinatenjom, pm ; so ist für die Curve 1):

p,n =f(x-\-h) = y + ±?--h + + . . . ,

so wie für jene 2) :

pm = ?(*+*) =y + -jJa + h— ’

und es folgt sogleich, dafs diese beiden Curven im PuncteM um so naher zusammenfallen, oder sich hier um so in-niger berühren werden, je mehr correspondirende Gliederdieser beiden letzten Reihen von vorne herein, bei denkleinsten Werthen von h, einander gleich sind.

§. 705 Erklär, Findet demnach aufser der Be-dingung von x’ = x, wodurch auch i y'= i y wird, noch jene:

fL Y d Y

-~7 — für diesen Punct M Statt; so sagt man , die bei-ax dx 0

den Curveu 1) und 2) berühren sich in diesem Puncte nach