454 =

der ersten Ordnung. Besteht überdiefs noch die Gleich.

■ , — ——, so heilst die Berührung eine der zweiten

d x- dxß ■

Ordn., und allgemein, sagt man, dafs zwischen den bei-den Curven in M eine Berührung der n. Ordnung bestehe,wenn für diesen Punct die correspondirenden Differential-quotienten bis einschliefsig zu jenem der «.Ordnung wech-selweise gleich sind.

§. 706. Besteht aber im Puncte M zwischen denbeiden Curyen i) und 2 ) eine Berührung der n. Ordnung,so kann keine dritte Curve, wenn sie nicht mit jener 1 )eine Berührung von einer wenigstens eben so hohen Ord-nung besitzt, zwischen den beiden erstem Curven durch-gehen. Denn sCy Y=F(X) die Gleich, einer dritten Curve,welche in M die Curve 1 ) blofs in der («■—i) sten Ordn.berührt; so bestehen nach dem vorigen die Gleichun-

dY dy d n —'Y d n —'y

d- Y A 2

diese 3. Curve: p m"= -FfA-j-A) = Y —— 4-f-

IVIit Rücksicht auf die vorigen Delationen hat man daher:

, dx n Y' dx n +d n y d n Y\d x » dX n ) 2.;

(« + i)

wobei wieder

rechts der Gleichheitszeichen für die kleinsten YYerthe vonh, abermals nur das 1 . Glied der Reihe zu berücksichtigenkommt. Da aber in dem erstem dieser beiden Ausdrücke,h in einer höhern Potenz als im letztem vorkommt; sofolgt, dafs bei den kleinsten Werthen von h,

pm — pm p in — pm', d. i. mm mm"

sey, und daher die dritte Curve nicht zwischen den beidenerstem durchgehen könne.

§• 707. Es sey nun die Curve 1 ) [y =/(:r)] voll-ständig, dagegen jene 2 ) [j''s= f (a/)] blofs der Gat*