§• 825 - Um für das vorige Integral eine Beihe zuentwickeln, welche für Werthe von «>a convergirt, be-merke man, dafsa- a"

ä~ -J- x- x z -j- a?also

’ a 1 dx

a-x~

f:

a- -f- x-

fdx (u 2

a* x~b a° x ~' 6

a^x — 1 i -j- . . .)

x ~ 3x 5

a°bx sd x

C* ß x

Für a= i ist, da zugleich J ^ == '

arc langx = C — - 4- -i- — ■ + • • • >

x 1 3.v 3 5ar j

und da hier immer i seyn mufs, so kann man zur Be-stimmung von C, nicht wie vorhin, a; —o setzen; dagegenist für x = oo sofort aroiangx = -jjr, demnach C =und daher:

arctangx =

6a:

7 + *

eine Beihe, welche um so brauchbarer, je gröfser x ist.

. n x”‘ dx

I Auf dieselbe Art erhält man auch zwei Beihen für I —;-,

L J a n -f- x*

s- III-, 3 79 .]

C* d x

§. 826. Zur Bestimmung des Integrals I -

J y 1 — x-

1 _ 1

hat man, wenn — - - . = (1 — a nach dem Binomial-

\/i — ^2Theorem entwickelt wird:

C dx r , / , . . , 1.3 . , 1.3.5 . . \

J + T * + rr + 1 ^ 6 * + • •)

, 1 . x* , 1 .3 x$ . i.3.5.r 7 , „

x + VTi + 2T4T5 •" a".4 ; 6 T7 + • * + L '

Da von der andern Seile auchist, so hat man:

r dx =

J )/1 —(a; 2

arc sm x

■ 1 • x* i. 3x$ , . „

arc sin x = x -4--1- - -4- . . . + C.

2.3 ‘2.4.5'

■ Um dabei den kleinsten Bogen zu bestimmen, welcher dem