Die Bernoullische Reihe.

§. 881 . Setzt man in der ursprünglichen Reductions-formel §. 792, nämlich in fX dx = Xx — fx dX, der Reihenach m ) dX — X'dx, dX'=X"dx etc. 5 so erhält man,u = X' und dv = xdx, also vszs^x 1 gesetzt, weiters:

fx dx = fx'x dx = ri^- i/** dx'-,

u — -X" uud di> = x 2 dx gesetzt, wodurch v = jx 3 wird,ferner:

fx' l dX r =: fX"x' l dx = ~X"x 3 — \fx 3 dX" u. s. w.

Diese Werthe gehörig einer in den andern substituirt,erhält man endlich:

fXdx = Xx — — -f X " ' r5

_ X"'x*

2.3 2.3.4

oder, da aus den vorigen Relationen m)dX

+ •

X ' _ x „ _ dX _ d'-X ePX

dx ’ [dx dx 7 - ’ dx 1 U * ’ ^

folgt, auch:

C\r . -V dX X- . ' d" X X*

JXdx = Xx ---U

v n.. nt: o. *

d*X

_ _L 4_C*

dx 2 1 dx 2 2 .3 dx 3 2 . 3 . 4 '** ~ ’

eine Reihe, welche nach ihrem Erfinder die Bernoullischeheifst.

. p dx

Beispiel. Um nach dieser Reihe das Integral 1 7- ^ ^

zu bestimmen, hat man X =

d 2 X

d*X

1 dX _ — 1

a ^ S ° dx (i-px)-’

1.2.3

u. s. w., folglich :

dx 7 - ~ (i-J-x)*’ dx * ~ (i+a.9 4

/ 'dx x t x 2 t xz

1 +x ~~ i+x -*■ 2(1-4- x ) 1 + 3 (1 + xp + • • • + c -

P dx

Wegen J ^ ■" = l (1 -|- x) -f- C' ist auch:

/(,+af) = + ;(r+i) + 3(74^) + * * •>

wozu heine Constante gehört, weil für x = o auch l{ 1 -J-x)=owerden mufs.