Fünftes Capitel.

Von der Integration der höhern Differentialaus-driicke einer, und der PartialdifFerentiale mehrererVariablen.

§• 836. Bisher war immer der erste Differential-quotient = X oder die Differentialgleichung erster

Ordnung dy = Xdx gegeben, aus welcher wir durch In-tegration y oder fXdx bestimmt haben.

Nehmen wir nun an, dafs blofs der zweite Differen-tialquotient = X oder die Gleich, zweiter Ordnung

d z y — Xdx~ bekannt sey, aus welcher man die ursprüng-liche Function y herleiten soll; so ist es klar, dafs diefsnur durch eine zweimalige Integration möglich sey.

Es ist nämlich C —~ — Xdx, und weeen - , — = d . ~—dx ° d x dx

(indem dx constant ist) auch d, ~-=iXdx, also, wenn

dx

man integrirt: ^ = fXdx — f(x) -[- C. Daraus folgt

weiter: dy = f(x) dx -j- C dx, und wenn man abermals in-tegrirt: y — fj'(x-) dx -J- Cx -{- C' , wobei C' die Constanteder zweiten Integration bezeichnet. Wegen f(x) = fXdxist also auch: y = fdxfXdx -j- Cx -|- C', wobei durchfdxfXdx eine zweifache Integration angedeutet wird.

§■887. I st die Differentialgleichung dritter Ord-nung d 3 y Xdx 3 gegeben, so findet man genau auf die-selbe Weise (durch Wiederholung des vorigen Verfahrens) :

y = fdxj"dxfXdx -J- Cx z -j- C’x C",

wobei C, C', C" die unbestimmten Constanten sind, unddas erste Glied rechts eine dreimalige Integration bedeutet,die so zu verstehen ist, dafs wenn die aus der Integrationvon Xdx entspringende Funct. = /(a.’) ist, sofort f(x) dxneuerdings integrirt, und wenn dadurch f'(x) entsteht, end-lich nochmals f'(x)dx integrirt werden soll. Diese wie-