daraus folgt: (^j~~^dx = dxf^zdy, und wenn man jetztnach x integrirt: u = L dx f, zdy, dabei ist wegen Glei-

chung m), §. 656, die Ordnung der beiden Integrationen,im Allgemeinen genommen, willkürlich, und es kt eben sogut auch u = f/sL zd x. — Kürzer und üblicher ist fol-gende Bezeichnung: u — fj’zdxdy oder u—ffzdydx,wobei sich jedes der beiden Integralzeichen auf eine derbeiden Variablen x und y bezieht; ein solches Integral wirdauch ein doppeltes oder zweifaches (duplicirtes)Integral genannt.

§• 8S9. In Betreff der willkürlichen Constanten mufsnoch bemerkt werden, dafs man, der nöthigen Allgemein-heit wegen, dem Integral nach y eine unbestimmte Func-tion von x, z. B. X, und dem Integral nach x eine unbe-stimmte Function vony, z, B. Y , beifügen mufs; weil da-durch immer noch die Bedingung erfüllt wird, dafs das Dif-ferential der Constante verschwindet, indem, wenn mannach y difl'erentiirt, dX , und wenn man nach x differen-

tiirt, dY Null wird. Da indefs in der Anwendung diese

♦ °

Integrale immer innerhalb gewisser Grenzen genommenwerden, so sind in diesem Falle auch diese willkürlichenConstanten ($. 834) entbehrlich.

Beispiel. Um das Integral u= - -d- zu bestimmen,

JJ x+y

liat man, wegen -

x+y

£. . ZI

x z ‘

(für x <,y

schreibt man -

sofort:

J+x y

X

y l

+:

J jX+y J J

y

x z

■. .) und u — f x dx f*

J yX+Z

+ •)

•I

x

y*

’dx r ‘

. . + X,

tvo X die Stelle der unbestimmten Constante vertritt,daher:

und