Integration der homogenen Differenlialaus-drücke der ersten Ordnung.

§• 843- Die in §. 663 entwickelte Relation 7 ), wel-che zwischen einer homogenen Function und den Differen-tialcoeflicienten ihres vollständigen Differentials Statt hat,bietet ein äufserst einfaches Verfahren zur Integration ho-mogener Differentialausdrücke dar. Denn es sey Pdx Qdy-|- Rdz -j-... = du ein vollständiges Differential einer Func-tion u von den Variablen x f y, s,-.-. . und zugleich sobeschaffen, dafs P, Q, R, . . . h o m o g e n e Functionendieser Vaiiablen von einem und demselben Grade m sind,wodurch also u eine homog. Funct. des (m-j-i ) t011 Gradeswird; so ist zufolge der erwähnten Relation:

Px -(- Qy —[— Ä ä —(— . . . = (m -(- 1 ) u , alsoA) f(Pdx + Qdy + Rdz + ...) = ^±^^±111 -f C.

Beispiele. 1 ) Für das Integral frydx -f- xdy) ist P—y,, SdP\ / dQ\

Q—x, »1= 1 und ~ ~ 1 » a ^ so die Bedingung

der Integrabilität vorhanden.

demnach : ßydx -j- xdy) =1.) Um das Differentiale

Kach der vorigen Formel Ä) istyx + xy

-—— = xy + C.

du = (3.r’ -j- 2 ay-)dx + (l\axy -j- 3öj' 2 ) dyzu integriren, für welches P— 3.r- + iay- und Q = 4 axy + 3 by*homog. Functionen des m= 2 tc| > Grades sind, hat man wiedernach der genannten Formel:

( 3 x- -)- iay n -)x -f (4 axy -f- 3 by-)y

r 5 -j- 2 axy* hy* -j- C ,

und es ist hier 11 eine homog. Function des dritten Grades.Anmcrli. Für m — —r führt die obige Formel A) auf dieidentische Gleich. 0 = 0, und zeigt darin gewöhnlich an, dafsdas gesuchte Integral nicht algebraisch ist, so, dafsman dann wieder zur allgemeinen Integralionsmethode Zu-llucht nehmen mufs.