f'iby dy — by 2 ; also die'gesuchte Integralgleichung:

ax -f- bj 2 -J- i (.r -{- l/ i -)- .r-) — C.

§. Ö55. Ist aber zweitens die gegeb. Diffcrentialgleich,M dx -|- IV rfy = o homogen, sind nämlich M und N ho-mogene Functionen von x und y und gesetzt vom n te " Grade;so scy der gesuchte integrirende Factor s vom m ton Grade.Bemerkt man nun, dafs in der vollständigen Differential-gleich. 1 ) Mz dx -J- Nz dy zs da die Glieder Mz und Nz,welche sofort vom m-|-n ten Grade sind, durch das Diffe-rentiiren von u eine Dimension verlieren (vergl. §. 663),so war u nothwendig vom Grade m-j-ti-f -1 » und cs i st zu "folge des in §. 663 entwickelten Satzes:

Mzx -)- Nzy = (tn -|- n -j- i) u.

Die vorige Gleichung i) durch diese gelheilt, erhält man,gleich durch z abgekürzt:

31 dx -|- N dy j du

31 x 4 - IS y /« —J— /* —{— * u

Da nun aber der zweite Theil der Gleich, integrabl ist, somufs es auch der erste seyn, woraus sofort folgt, dafs hier

z = -:—— der gesuchte integr. Factor ist.

31.x -f- Ny 0

Anmerk. 1 , Hat man für die .Diffcrentialgleich. 3Idx -f. Ndy — oeinen integrirenden Factor z gefunden, so können darausnoch unzählige andere abgeleitet werden. Denn multiplicirtman die vollst. Gleich. M z dx + Nz dy — du mit einerbeliebigen Function von u, so ist 31 z (u) dx Nz <p (u) dy— (u) d u immer noch eine vollst. Differentialgleichung

[weil 1 f(u)du ein vollständ. Differential ist]. Alle F’actorenalso, die nur immer aus zo(u) abgeleitet werden können,sind für die gegeb. Diffcrentialgleich. integrirende F'actoren.

Anmerk. 2 . Die auf diese Art vervollständigten Differontial-31 dx -f

gleichungcn

können daher (§. 843 , Anm.) nicht nach §. 843 integrirt, son-dern müssen auf gewöhnliche Art behandelt werden.

Ny

gehören zum Grade — 1 , und

15 ei spiel. Für die homogene, unvollst. Diffcrentialgleich.y-dx x- dy — xy dy — o ist 31—y z , N — x-—xy j folg-