2 Arithmetik und Algebra.

dem eine Bezugnahme darauf bei entsprechenden analytisch-geometrischen Unter-suchungen zu ermöglichen.

In der Arithmetik und Algebra ist in Betreff des Uebungsmaterials aufverbreitete Aufgaben-Sammlungen verwiesen worden, da eine umfangreiche Mit-theilung solchen Materials zuviel Raum erfordert haben würde.

Durch wiederholtes Setzen einer Einheit, d. i. durch Zählen oder Numeriren,erhält man die Reihe der natürlichen Zahlen:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .... ,

welche ohne Ende fortschreitet. Eine solche Zahl ist also ein zusammenfassenderAusdruck für eine bestimmte Menge (Anzahl) gleichartiger Einheiten. Jedefolgende Zahl der natürlichen Zahlenreihe ist um eine Einheit grösser als dienächst vorhergehende.

Durch Verbindung zweier oder mehrerer Zahlen nach bestimmten Gesetzen,d. i. durch Rechnen, lassen sich aus jenen andere Zahlen ableiten, welche zuihnen in einer vorgeschriebenen Beziehung stehen. Von solchen Verbindungs-weisen soll im Folgenden näher gehandelt werden.

Neben den — hier als bekannt vorausgesetzten — bestimmten Zahlzeichen(Ziffern und deren Verbindungen) bedient man sich zur Bezeichnung von Zahlenauch der Buchstaben. Es geschieht dies, wenn von einem bestimmten Werthder Zahl abgesehen werden, es also gestattet sein soll, sich unter dem gebrauchtenZeichen jede beliebige bestimmte Zahl vorzustellen. Dieser Gebrauch der Buch-staben findet namentlich zu dem Zwecke statt, die allgemeinen Regeln und Ge-setze des Rechnens darzustellen, welche für alle Zahlen, ohne Rücksicht aufbesondere Werthe, Geltung haben. Innerhalb derselben Rechnung ist dabeiunter einem und demselben Buchstaben stets dieselbe Zahl zu denken, wenn-gleich, wie bemerkt, unbestimmt gelassen wird, welches ihr Werth ist.

Ausserdem gebraucht man die Buchstaben zur Bezeichnung solcher Zahlen,deren Werthe zwar nicht unbestimmt, aber unbekannt sind, also z. B. dergesuchten Grössen bei Rechnungs-Aufgaben. Man ist übereingekommen, zu demletzteren Zweck in der Regel die letzten Buchstaben des Alphabets, dagegenals allgemeine Zahlzeichen vorwiegend die ersten zu benutzen.

Die allgemeine Arithmetik handelt von den Gesetzen der einfachsten Ver-bindungsweisen von Zahlen oder der sogenannten Grund-Rechnungsarten. Wegendes angeführten Gebrauchs der Buchstaben wird sie wol auch Buchstabenrechnunggenannt.

In dem Begriff der Zahl liegen nach dem Obigen zwei Begriffe, nämlichderjenige einer ursprünglich gegebenen Grösse, der Einheit, und derjenigeeines wiederholten Setzens dieser Einheit oder einer bestimmten Anzahl.Einheit kann jede Grösse sein, und ein und dasselbe Zahlzeichen kanndaher sehr Verschiedenes bedeuten, je nachdem ihm verschiedene Einheiten zuGrunde liegen. Durch die Angabe der Einheit erhält die Zahl ihre Benennung(benannte Zahlen). Bei allgemeinen Untersuchungen kann die Einheit, welcheden verschiedenen Zahlen derselben Rechnung gemeinsam zu Grunde liegt,unbestimmt gelassen werden (abstracte, unbenannte Zahlen).

Von der Einheit ist die Eins zu unterscheiden. Die letztere ist diejenigeZahl, welche das einmalige Gesetztsein der ersteren angiebt.