I. Addition und Subtraction.

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andere Art verdient jedoch aus einem bei der Division zu erwähnenden praktischen Grunde denVorzug, und es ist daher der Gebrauch derselben zu empfehlen. Folgendes Beispiel wird dazuhinreichende Anleitung geben: Bei der Aufgabe 58379 — 19297 rechne man: 7 plus 2 giebt 9,also ist die letzte Ziffer des Resultats 2; 9 plus 8 ist 17, also ist die nächste Resultatziffer 8;da aber die Summe nicht 7, sondern 17 war, so wird die 1 zur nächsten Ziffer 2 des Subtra-

hendus addirt, und man rechnet also weiter 3 + 0 = 3, dann ebenso 9 + 9 = 18, 2 + 8 = 5.

Bei diesem Verfahren fällt auch das sogenannte Borgen oder Leihen weg. — Der praktischeRechner gewöhne sich übrigens auch daran, dass er bei dem Addiren und Subtrahiren nichtnöthig habe, die beiden Zahlen in der üblichen Weise unmittelbar unter einander zu schreiben.

Die Definition des Werthes einer Differenz kann nunmehr dahin ausge-sprochen werden, dass derselbe diejenige Zahl sei, welche, zum Subtrahendenaddirt, den Minuend giebt, und diese Erklärung lässt sich in der Formel(c — a) + a = c . . . . (2)

darstellen. Auch die folgenden Gleichungen, welche den Gegensatz zwischenAddition und Subtraction in anderen Formen darstellen, ergeben sich unmittelbaraus der vorstehenden Definition:

(a + b) — b = a . . , . (3)

c — (c — b) = b . . . . (4)

In diesen Gleichungen (2) bis (4) — welche sich leicht in der Form vonRechnungs-Regeln in Worte übersetzen lassen — haben die Klammem ( ) dieBedeutung, dass die in denselben eingeschlossenen Ausdrücke als zuerst ausge-rechnet, an Stelle derselben also die Resultate der betreffenden Rechnungengesetzt gedacht werden sollen. Ueberhaupt werden oft statt des Werthes einerSumme a + b oder einer Differenz a — b, wenn — wie bei Buchstaben-Rech-nungen häufig vorkommt — die Berechnung nicht wirklich ausgeführt werdenkann, diese Ausdrücke selbst in Klammern eingeschlossen, oder auch ohneletztere gesetzt, sofern die Bedeutung aus dem Zusammenhang hervorgeht undkein Missverständnis möglich ist. Ebenso werden unter gleicher Voraussetzungauch die Namen Summe und Differenz der Kürze halber statt Werth der Summeund Werth der Differenz gebraucht. Heis, § 2 und § 8. Bardey I, 4, 5, 12,16—18, II 9, 10, 15, 19, 20. *

§ 3. Reihenfolge der Operationen.

Sollen drei oder mehr Zahlen durch Addition oder Subtraction verbundenwerden, so kann dies nur in der Weise geschehen, dass man zunächst zwei der-selben miteinander verbindet und das Resultat an Stelle dieser beiden Zahlenemsetzt, darauf in dem nun vorliegenden, ein Glied weniger enthaltenden Aus-druck wieder zwei seiner Glieder vereinigt und so fortfährt, bis man zu einereinzigen Zahl, dem Gesammt-Resultat, gelangt.

Diese successive Berechnung kann in verschiedenen Reihenfolgen geschehen,und man erhält dabei nicht nothwendig immer dasselbe Resultat. Daher mussdie Reihenfolge, welche im einzelnen Fall verlangt ist, angegeben werden, unddies geschieht in ähnlicher Weise, wie oben in den Gleichungen (2)—(4) durchKlammern. So ist z. B.

9 — [(4 + 3) — 1] = 9 — [7 — 1] = 9 — 6 = 3,

dagegen (9 — 4) + (3 — 1) = 5 + 2 = 7,

ferner [9 — (4 + 3)] — 1 = [9 — 7] — 1 = 2 — 1 = 1

und [(9 — 4) + 3] — 1 = [5 + 3] — 1 = 8 — 1 = 7.

Um jedoch eine Häufung der Klammern möglichst zu vermeiden, ist manübereingekommen, dieselben dann wegzulassen, wenn die verlangte Reihenfolge