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Arithmetik und Algebra.

dieselbe ist, wie die, in welcher die einzelnen Glieder in dem geschriebenenAusdruck aufeinander folgen. Wo also Klammern fehlen, ist immer die Reihen-folge zu wählen, welche zugleich die der Schrift ist.

Hiernach können z. B. in dem letzten Fall des vorstehend benutzten Zahlenbeispiels alleKlammern weggelassen werden. Dagegen ist in dem ersten Fall dieses Beispiels nur die rundeKlammer, in dem zweiten Fall die erste der beiden Klammern und in dem dritten die eckigewegzulassen. Ebenso ist z. B.

5 + 3 —2 + 4 —1,

wie folgt, auszurechnen: 5 + 3 = 8; 8—2 = 6; 6 + 4 = 10; 10 — 1 = 9. Dagegen ist in8 + [5 — (3 + 1)] = 8 + (5 — 4 ) = 9 keine Klammer entbehrlich. — Heis, § 6, No. 1 —8.Bardey II, 46, 47.

Es entsteht nun die Frage, ob und in welcher Weise sich die Reihenfolgebei derartigen Rechnungen verändern lässt, ohne dass eine Aenderung des Resul-tats eintritt. Zur Beantwortung derselben untersuchen wir zunächst, welcheAenderung der Werth einer Summe oder Differenz erfährt, wenn man ein ein-zelnes Glied derselben als veränderlich betrachtet und dasselbe um irgend eineGrösse zu- oder abnehmen lässt. Aus den Begriffen der Summe und der Differenzergiebt sich leicht, dass jede Veränderung eines einzelnen Summanden durchAddition oder Subtraction einer dritten Zahl die gleiche Veränderung im Werthder Summe hervorbringt, und dass dasselbe der Fall ist bei einer Differenz undihrem Minuendus. Wird dagegen eine solche Veränderung am Subtrahendusvorgenommen, so erfährt die Differenz die entgegengesetzte Veränderung, d. h.ihr Werth wird kleiner, wenn der Subtrahendus grösser wird, und umgekehrt.Es folgt dies daraus, dass nach erfolgter Vergrösserung des einen Summandender andere um ebensoviel Einheiten verkleinert werden muss, wenn der Werthder Summe unverändert bleiben soll. — Man erhält so vier einzelne Rechnungs-Regeln, welche in folgenden Gleichungen ausgesprochen sind:

d —f— b +- c —■ et -+ c —f- b — ct —k (b —j— r) . , . , ( 5 )

a + b — c — a — c + b = a + (# — c) . . . . ( 6 )

a — b + c = a + c — b — a — (b — c) . . . . (7)

a — b —»c = a — c — b = a — (b + c) . . . . ( 8 )

Daher ist auch umgekehrt:

« + (£ + c) = « + 5 + c = a-\- c + b . . . . ( 9 )

a — ib + c) = ß — b — c = a — c — b . . . . ( 10 )

a + (5 — c) = a + 5 — r = a —c + b . . . . (H)

a — (b — c) — a — £ + c = « + z — b . ,. . . ( 12 )

Man kann diese acht Formeln auch, wie folgt, zusammenstellen und inWorten aussprechen, sowie auf mehrgliedrige Ausdrücke erweitern:

1 . Sollen mehrere Zahlen nach einander addirt oder subtrahirtwerden, so kann dies in beliebiger Reihenfolge geschehen.

2. Statt mehrere Zahlen nach einander zu addiren, kann man ihreSumme auf einmal addiren, und statt mehrere Zahlen nach einanderzu subtrahiren, kann man ihre Summe auf einmal subtrahiren.

3. Soll eine Zahl b addirt und eine andere c subtrahirt werden, sokann man statt dessen b — c addiren oder c — b subtrahiren.

4. Statt eine Summe oder eine Differenz zu addiren oder zu sub-trahiren, kann man dieselbe Rechnung mit j edem einzelnen Summandund mit dem Minuend, dagegen mit dem Subtrahend die entgegen-gesetzte vornehmen.

Heis, § 7 und § 9—12; Bardey III, IV.