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Darstellende Geometrie.

4. Die Centralprojection eines Punktes /*ist bestimmt, wenn man eine Parallel-projection des Punktes auf die Ebene IT, den Fluchtpunkt der Projectionsstrahlenund die Strecke des Projectionsstrahles für die Parallelprojection zwischen demPunkte P und der Projectionsebene TI kennt.

Denn ist PS die Richtung der Projectionsstrahlen, mithin F der Flucht-punkt derselben, und .S die Parallelprojection von P auf [I, so liegt P' aufSF ; und da PS parallel AF, so theilt P die Strecke SF in dem Verhältniss

P' wird also erhalten, indem man S mitdem Fluchtpunkte F verbindet, durch A und Fzwei Parallele zieht, auf denselben Strecken Sy= SP, Fa = FA ab trägt und pci zieht; dann istP die gesuchte Centralprojection.

Wenn eine von den Strecken SP oder FAeine unbequeme Länge hat, so kann man stattder ganzen Strecken auch die Hälften, die Viertel,etc. auftragen, oder überhaupt für Ap und Fazwei Strecken wählen, die sich wie A P und FAverhalten.

Die Strecke FA erhält man, wenn, wie immervorauszusetzen ist, der Augenpunkt und die Ent-fernung des Projectionscentrums von der Projectionsebene (kurzweg die Distanzgenannt) bekannt sind, als Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks A' AF.

5. Ist eine Ebene E parallel der Projectionsebene, so sind die Projectionender auf dieser Ebene enthaltenen Figuren den Figuren selbst ähnlich. Die Pro-ection einer auf der Ebene E liegenden Strecke verhält sich zur Strecke selbst,wie die Distanz zum Abstande des Centrums von der Ebene E.

6. Geht eine Ebene durch das Projectionscentrum A, so fallen die Projec-tionen aller ihrer Punkte in die Spur der Ebene; die Projection der Ebene istalso in diesem Falle eine Gerade.

7. Legt man durch das Projectionscentrum A eine Ebene e, die mit einergegebenen Ebene E parallel ist, so enthält e alle die Projectionsstrahlen, dieparallel mit E, also nach unendlich fernen Punkten von E gezogen sind. DerSchnitt f dieser Ebene e mit der Projectionsebene enthält also die Projectionenaller unendlich fernen Punkte auf E.

Die Gerade f heisst die Fluchtlinie der Ebene E.

Parallele Ebenen haben dieselbe Fluchtlinie.

Eine Ebene ist durch Spur und Fluchtlinie bestimmt.

Die Fluchtpunkte aller Geraden einer Ebene E liegen auf der Fluchtlinievon E\ die Spuren aller auf E enthaltenen Geraden liegen auf der. Spur von E.

Der Fluchtpunkt der Falllinien der Ebene E ist der Fusspunkt des vomAugenpunkte auf die Fluchtlinie f gefällten Lothes; der Fluchtpunkt von Paral-lelen auf E, die mit den Falllinien (also auch mit der Spur) Winkel von 45° bil-den, ist einer der beiden Punkte, die auf der Fluchtlinie / der Ebene E vom Fuss-punkte B des vom Augenpunkte auf f gefällten Lothes um die Strecke AB ent-fernt sind.

Jede Gerade einer Ebene E und ihre Centralprojection treffensch auf der Spur dieser Ebene; ein Polygon auf E und seine Central-

SP: AF.

(M. 341.)