Die Erfindung der Logarithmen und ihr Einfluß auf die Trigonometrie. 7

Jetzt betrachtet er als erstes Glied seiner II. Reihe wieder 10 7 ,als zweites aber das letzte Glied r 10I der ersten Reihe, das er auf7 Stellen abkürzt. Somit ist der Quotient dieser II. geometrischen

Reihe Rhkfoooo = 0,99999 = 1 — ~ 5 -, mit welchem dieselbe bis zum

51. Gliede fortgesetzt wird, indem man stets den hunderttausendstenTeil des vorangehenden Gliedes von diesem abzieht. Es ist

allgemein r m = r m _ LW ~~^, und das letzte Glied wird r 6001

= 9995001,224804. Statt dieses Wertes fand Neper infolge einesRechenfehlers, auf den Biot in seiner vorzüglichen Besprechungvon Nepers Methode aufmerksam machte 1 ), die Zahl 9995001,222927,welche von dem wahren Werte in der 10. Stelle differiert, und dagerade diese Zahl für seine Logarithmen fundamental ist, so liegthierin der Grund dafür, daß die Logarithmen Nepers in den letztenStellen ungenau sind.

Wie zwischen dem ersten und zweiten Gliede der Reihe II die99 Glieder der Reihe I liegen, so könnte man zwischen je zwei auf-einanderfolgende Glieder in II ebensolche 99 Glieder nach demselbenGesetze interpolieren, so daß die so vervollständigte Reihe 5001 Gliederumfassen würde. Dies thut jedoch Neper nicht, sondern er bedientsich nur des letzten Wertes, für den er näherungsweise 9995000 setzt,um eine dritte Reihe zu beginnen. Ihr erstes Glied ist wiederr 1 = 10 7 , das zweite 9995000, und also der Reihenquotient 0,9995

1999 1

= aööö = ^ — iäÖOÖ' ® aml * erhält er die dritte Reihe, deren Gesetz

V

durch r p = r p _ im --- ausgesprochen ist, während das 21. Glied

lautet r 100001 = 9900473,57808. Nimmt man endlich statt dieser Zahlwieder näherungsweise 9900000 als zweites Glied einer IY. Reihe,

deren erstes r x = 10 7 ist, so hat man den Quotienten 0,99 = 1 —

und bekommt als letztes 70. Glied r 6900001 = 4998609,4034.

Dieses Schlußglied der Rechnung wird näherungsweise = 5000000,d. h. gleich dem halben Anfangsgliede aller vier Reihen gesetzt, undsomit hätte man, wenn alle interpolierten Werte berechnet wären,eine geometrische Reihe von 6900001 Gliedern, deren Anfangsglied10 7 und deren Quotient 0,9999999 ist; dieselbe kann also durch

10 7 ^1 — dargestellt werden.

Welche Logarithmen weist er nun aber diesen Zahlen, die alsSinus aufgefaßt werden, zu? Dieselben müssen natürlich mit den

1) Journal des Savants 1835, 363.