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1. Kapitel.

Stellenzeigern der einzelnen Glieder in direkter Beziehung stehen,wenn sie ihnen auch nicht gleich zu sein brauchen. Zu ihrer Be-stimmung stellt er durch kinematische Betrachtungen zwei wichtigeSätze auf. Bezeichnet r irgend eine der Zahlen der Reihe, also einen

Ti

Sinus, R den Sinus totus, so ist 1) R — r< log r <(!? — /•)•— * 1 * ),

und also kann näherungsweise log r gleich dem arithmetischen Mittelzwischen diesen beiden Grenzen gesetzt werden. Bezeichnet ferner r'einen anderen Sinus, nahe an r, so ist 2) 1 - * • R > log r — log r'

> r r , r ■ R % ). Also folgt

2) log r - log r'= ~ (r ~ r) Jl + )) , oder - - ' • R.

je nachdem man das arithmetische oder das geometrische Mittelnimmt. 3 ) Den letzteren Wert kann man auch näherungsweise durch

Y ' 2-R ersetzen, indem man ]/W' = J(V + O nimmt. Setzt man

jetzt den Logarithmus von R = 10 7 gleich Null, so folgt aus demersten Theorem für den Logarithmus des zweiten Term es 1,00000005 4 ).Um diese Zahl wachsen also die Logarithmen der sämtlichen in der

I. Reihe enthaltenen 100 Sinus und können somit unmittelbar hin-geschrieben werden. Der Logarithmus des letzten Gliedes ist dann:log r 101 = 100,000005. Um den Logarithmus des zweiten Gliedes der

II. Reihe zu finden, benutzt Neper das 2. Theorem. Setzt man indemselben r = 9999900, r' = 9999900,0004950, R — 10 7 , so erhältman bis auf 12 Stellen genau log r — log r' = 0,000495004950, alsolog r = 100,00050000. Hieraus durch fortgesetzte Addition die Loga-rithmen der 50 Zahlen der II. Reihe. Nun wird wieder in derselbenWeise wie oben der Logarithmus des zweiten Gliedes der III. Reiheabgeleitet und dafür 5001,2485387 gefunden. Da jedoch r 5001 , wieschon bemerkt, fehlerhaft berechnet war, so ist auch sein Logarithmusunrichtig, der richtige Wert wäre 5001,25041645. 6 ) Mit Hilfe diesesLogarithmus ergehen sich dann wieder durch Addition die Logarithmenaller Zahlen der III. Reihe, und in derselben Weise weiterschließenderhält man die konstante Differenz für die IV. Reihe und hiermit dieLogarithmen der noch fehlenden Glieder.

1) Constructio p. 14. — 2) Constructio p. 19. Natürlich sind die beiden

Sätze bei Neper in Worten gegeben. — 3) Vgl. hierüber Hutton a. a. O.

p. XLVIII Anmerkung. Delambre hat in seiner Hist, de l’astronomie moderne

I, Paris 1821, p. 499 durch Einführung def logarithmischen Reihe die Genauig-

keit dieser Grenzen näher untersucht.— 4) Biot hat a. a. 0. p. 361 gezeigt, daß

dieses angenäherte Resultat bis auf i der Einheit der 14. Dezimale mit dem

wirklichen stimmt. — 5) Biot ebenda p. 363.