Die Erfindung der Logarithmen und ihr Einfluß auf die Trigonometrie. 21

auch in der im Winter 1621 auf 22 ausgearbeiteten „Chilias I ogarith-morum ad totidem Numeros Rotundos; praemissa Demonstrationelegitima Ortus Logaritbmorum, eorumque Usus etc.“.

Um nicht zu weitläufig zu werden, müssen wir uns mit folgen-den Bemerkungen begnügen. Kepler läßt im Gegensätze zu NeperZahlen, deren Logarithmen er sucht, nach ganzen Einheiten von 1 bis1000 fortschreiten; da er dieselben aber als Sinus für den Sinus totus10 7 auffaßt, so fügt er jeder Zahl noch 4 Nullen hinzu. 1 ) DieseZahlen stehen in der zweiten Spalte seiner Tafel, während in derersten die ihnen entsprechenden Bögen auf Grade, Minuten und Se-kunden berechnet, angegeben sind. Die letzteren wachsen also nichtwie bei Neper um die gleiche Differenz. Außerdem enthält die3. Kolumne die nämlichen Zahlen in 24 Teilen des Radius und derenMinuten und Sekunden und die 5. Spalte dieselben in 60 Teilen desRadius und deren Minuten ausgedrückt, die 4. aber umfaßt die Loga-rithmen der Sinus. Dieselben berechnet er nicht wie Neper durchfortgesetzte Subtraktion gleicher Brüche, sondern durch Einschaltenmittlerer geometrischer Proportionalen oder fortgesetztes Quadrat-wurzelziehen, wie jener schon in seinem Anhänge zur Constructio vor-geschlagen hatte, die übrigens Kepler nicht bekannt war.

Bezeichnet man den Keplerschen Logarithmus einer Zahl a mitlog K a, so sind die beiden Progressionen, die er zugrunde legte, durchdie allgemeinen Glieder

log* a = nd und a = 10 (1 — d) n

gegeben. 2 * ) Aus der zweiten Gleichung ergibt sich für d=l — y~,

und Kepler gelangte zu dem Werte von d, der nahe gleich Nullsein mußte, damit er seine nach ganzen Intervallen fortschreitendenZahlen mit den Gliedern der Reihe a = 10 (1 — d) n identifizierenkonnte, indem er n gleich einer hohen Potenz von 2 setzte. Wollteer z. B. log 7, oder wie er schreibt, den Logarithmus der Zahl70000.00 berechnen, so setzte er 8 ) n = 2 30 , indem er zwischen 7 und 10dreißig mittlere Proportionalen einschaltete. Hierdurch ergab sich

230 _

d = yo,7 = 0,00000000033217943100,und somit log* 7 = 2 80 • (7 = 0,35667494813722214400. In seiner Tafelsteht daher neben 70000.00 der Logarithmus 35667.49, und die ganzeentsprechende Zeile heißt daselbst 4 ):

1) Übrigens gibt er am Beginne seiner Tafel noch die Logarithmen der

Einer, der Zehner, der Hunderter und der Tausender an. — 2) K. Wolf, H. A.

I, 75. — 3) Opera VII, p. 323. Demonstratio structurae logarithmorum. —

4) Opera VII, 403. Ebenda 347 gibt er an, daß er der letzten Ziffer in seinen