Die Erfindung der Logarithmen und ihr Einfluß auf die Trigonometrie. 23

j/oos i±SL=rJL cos L+.L=JLsin a sin y

erhältlichen Form zum erstenmal ausspricht, während Neper diesenFall noch mit rechtwinkligen Dreiecken behandelte. 1 ) Die Formu-lierung seiner Sätze entspricht genau der von Neper eingeführtenArt und Weise, die sich noch lange Zeit erhielt.

Hier müssen wir auch noch eines goniometrischen Satzes ge-denken, auf den Kepler an mehreren Stellen zurückkommt. In demComm. de stella Martis sagt er nämlich 2 ), daß, wenn a ein kleinerWinkel ist, die Proportion bestehe:

(sin a + sin 2 a + • ■ ■ + sin na) : (sin « + sin 2« + •■• + sin= (1 — cos na) : 1,

ein Satz, den er wahrscheinlich durch Induktion fand. Außerdemkennt er auch den Satz, daß sec 89° + tg 89° = sin 1° + sin 2° -f- • • •+ sin 90° ist, welchen zuerst Cardano in seinem über de subtilitategegeben hat. Dabei bemerkt Kepler, Bürgi habe denselben be-wiesen. 3 ) Übrigens hatte schon Archimedes in seiner Schrift über

die Kugel und den Zylinder den Wert der Summe erd a + erd 2a-j -

+ erd na geometrisch abgeleitet. 4 * )

Auf seine Logarithmen ist Kepler später noch einmal zurück-gekommen, indem er in seinen 1627 erschienenen „RudolfinischenTafeln“, die nach ganzen Intervallen wachsenden Zahlen, welche sichauf den Radius 10 7 bezogen, ganz wegließ und dafür die Logarithmender Zahlen mitteilte, die von 5 zu 5 Sekunden nach dem in '60 Teilegeteilten Radius oder von 2 zu 2 Minuten nach einem in 24 Teilegeteilten fortschritten. 6 ) Es war dies deshalb geschehen, weil er injenen Tafeln noch immer die früher allgemein gebräuchliche Sexa-gesimalrechnung bevorzugte, um die ersteren allgemein zugänglicher zumachen. Außerdem teilt aber Kepler daselbst auch einen „CanonLogarithmorum et Antilogarithmorum ad singula Scrupula circuli“ mit,der von 0° bis 90° läuft; ferner „Particula Canonis Antilogarithmorumexactiorum ad denarias secundorum, pro Eclipsibus“, d. h. eine Tafelder Cosinus, die von 10" zu 10" von 0° bis 1° 40' fortschreitet 6 ),und endlich eine Tafel der Logarithmen der Tangenten für alle Minutender ersten 9 Grade. Für diese führt er den Namen „Mesologarithmen“’

1) Deseriptio 50—51. — 2) Opera Kepleri. Ed. Frisch. III, 390 u. 105. —

3) Ebenda III, 335. — 4) Vgl. Gino Loria „Le scienze esatte nell’ antica Grecia.

Lib. II, n. 38. — 5) Heptacosias logarithmoi’um logisticorum. — 6) Antilogarithmen

heißen bei ihm nämlich die Logarithmen der Cosinus.

b

COS y =