Die Erfindung der Logarithmen und ihr Einfluß auf die Trigonometrie. 35

metrie teilt er (p. 203) einen Beweis der Neperschen Regel mit ; „denweder Neper, noch Ursinus, noch irgend sonst jemand, soviel erwisse, beibrachte“. Dieser besteht aber einfach darin, daß er zeigt,wie die 10 von ihm vorher auf anderem Wege aufgestellten Analogieenin diese Regel passen. Die von Neper angegebenen Sätze, welcheSinus und Cosinus eines halben Dreieckswinkels durch die drei Seitenausdrücken, erfahren hier zum erstenmal eine vollständige Begründung.Dabei weist er zunächst die Gleichung:

{sin a ■ sin c } : r 2 = {sinvers b — sinvers (c — a )} : sinvers B

an der Figur des Analemmas nach und leitet dann geometrisch dieProportion:

{sinvers b —- sinvers (e — d )} : sinvers Bl . /~b . c — «\ . /b c — a\ ) . „B

= jsm ( ¥ + —) um - - 2 ~ ) ) : sm 2 T

ab; dann folgt aus der Verbindung beider unmittelbar der Satz.

Für die Neperschen Analogieen 1 ) ist ihm offenbar ein ein-facher Beweis nicht gelungen, indem er sagt, dieselben scheinen ihmeine subtilere Untersuchung zu erfordern, und deshalb verschiebe erdie Mitteilung eines Beweises auf eine spätere Gelegenheit. Dochist er unseres Wissens nicht mehr darauf zurückgekommen. Be-merkenswert ist auch eine Zusammenstellung von sechs für dieBerechnung schiefwinkliger sphärischer Dreiecke sehr verwendbarenSätzen, die sich ergeben, wenn man in dem Dreieck ABC von derSpitze A den senkrechten Bogen AD auf BC fällt. Dieselben lauten 2 ):1) cos C : cos BD = cos b : cos CD, 2) sin A x : cos B — sin A % : cos C,

3) cosec c : sin B = cosec b : sin C, 4) ctg c : cos A x = ctg b : cos A 2 ,

5) sin BD : ctg B = sin D C : ctg C, 6) tg BD : tg A, = tg D C : tg vl 2 ;

hierbei wurde BAD = A x , <f' CAD = A 2 gesetzt. Den zweiten

dieser Sätze trafen wir bereits bei Regiomontan (S. 128, I. TL),den fünften und sechsten bei Nasir Eddxn (S. 68, I. TL), die übrigendürften wohl bei Cavalieri zum erstenmal Vorkommen.

Endlich gibt Cavalieri in seinem V. Axiom (Kap. VIII,p. 315ff.) die Flächenformel für das sphärische Dreieck undzwar zum erstenmal mit einem ziemlich einwandfreien Be-weise lür dieselbe, ein Beweis, der sich bis heute in unseren Lehr-büchern erhalten hat. Daß er in Harriot und Girard bereits Vorgängerin der Entdeckung dieser wichtigen Flächenformel hatte, wußte er,

1) In einem Korollar teilt er dann auch noch die beiden Polarformeln zudenen Nepers mit und gibt an, wie man sie mit jenem Nebendreieck desSupplementardreiecks finden kann, dem wir bei Pitiscus, Magini und anderenbegegneten. — 2) Directorium p. 242.

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