B. Vorträge der Sektionssitzungen.
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Descartes et Fermât commencèrent à germer les semences du calculinfinitésimal qu’Archimède avait jetées et qu’un terrain stérile avaitconservées intactes pendant des centaines d’années; et c’est précisémentà cette époque que la théorie de certaines courbes particulières ac-complit des progrès de la plus haute importance, progrès qui, enlangage moderne, peuvent se désigner comme déterminations de lanature analytique de certaines fonctions qu’on rencontre dans la géo-métrie. En effet, n’est-elle pas de cette espèce la recherche qui con-duisit Pascal à conclure que tout arc de parabole est égal en longueurà un arc convenablement choisi de spirale d’Archimède et vice-versa?Quelques lignes de calcul sont aujourd’hui suffisantes pour vérifierl’exactitude de cette proposition; mais quelle pénétration d’esprit étaitnécessaire pour apercevoir l’identité d’arcs apparemment si différents!d’autant plus que le problème de la rectification d’une courbe estun de ceux qui avaient brisé les armes des anciens géomètres, unproblème en présence duquel Archimède lui-même avait dû se dé-clarer vaincu.
Le résultat inespéré atteint par l’auteur des Pensées encourageales mathématiciens à essayer de mesurer les lignes qui ne sont pasdroites ou du moins à s’efforcer de comparer entre elles des lignesdifférentes. Nous voyons, en conséquence, immédiatement après Pascal,Fermât généraliser le théorème rapporté ci-dessus, en établissant quetout arc d’une parabole d’ordre supérieur est égal à un arc con-venablement choisi d’une de ces spirales qu’il avait obtenues engénéralisant la définition de la spirale d’Archimède . Et peu de tempsaprès, presque dans le même temps et indépendamment les uns des autres,le Français Fermât, l’Anglais Neil et le Hollandais van Heurat découvrentla première courbe algébrique exactement rectifiable: la parabole semi-cubique.*) Cette mémorable découverte conduisit plus tard le comte deFagnano à la conception d’autres paraboles où se trouvent des couplesd’arcs dont la différence est rectifiable, et à ces grandes recherchessur la rectification de l’ellipse et de la lemniscate, qui sont un splen-dide prélude et une préparation efficace à la théorie des fonctionselliptiques. Il faut ajouter que les nombreuses recherches sur lescourbes dont la rectification dépend de fonctions données d’avance sontd’une nature analogue: parmi les fruits qu’elles ont donnés, il suffitde citer la découverte des courbes de Serret et des spiralessinusoïdes.