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a,b,c und r. Ist diese Bedingung erfüllt, so sind für die Coordinalen der

Kreispunkte die Grössen p =^- und q =

für beide Flächen iden-

tisch, womit die in der Aufgabe ausgesprochene Behauptung bewiesen ist.

88) Aufg. Die Hauptnormalen der cylindrischen Schraubenlinie,welche gegeben ist durch die Gleichungen

x = mcosqp, «/=■= m sin <jp, g = n<p,

bilden die windschiefe Schraubenfläche. Man bestimme für dieselbe a)die Gleichung, b) die Tangentialebene im Punkte x , y, z und deren Ab-stand vom Coordinatenanfangspunkt und c) die Hauptkrümmungsradien.

Lös. a) Die Gleichungen der Hauptnormale der gegebenen Schrau-benlinie sind

(£ — tr)siny = (j? — y)cos<p, £ = z', oderSsinqp = rjcoscp, £ = ntp.

Hieraus folgt durch Elimination der Grösse (f als Gleichung der Schrau-benfläche

n n £ ° n

b) Die Gleichung der Tangentialebene wird

yl—xr] -l- (x 2 +y 2 ) (£ — z)

der Abstand der Tangentialebene vom Coordinatenanfangspunkte ist

y# .-

D= , wenn r — qx 2 +y 2 gesetzt wird.

\ln 2 +r 2

c) Die Hauptkrümmungsradien können gefunden werden aus derGleichung

Die Schraubenfläche hat somit in jedem Punkte zwei gleich grosse undentgegengesetzt gerichtete' Hauptkrümmungsradien; ihre mittlere Krüm-mung ist gleich Null. Es ist diess eine Eigenschaft, welche den Mini-malflächen zukommt, d. h. solchen Flächen, die bei gegebener Begren-zung die kleinste Oberfläche besitzen.

89) Aufg. Es soll die Gleichung der abwickelbaren Fläche gefundenwerden, welche durch die Tangenten der Schraubenlinie