Del mcto ellìttico .

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487, LEMMA I. hi un ellisse A M P , a cui sta circoscrìtto un cerchio A N P , C Xessendo la linea dell' ammalia media ( 482 ) , M il luogo vero del pianeta , R M N l'ordinata che pajsa per il luogo del pianeta ; il settore circolare ANSA farà sempre ugua-le al settore circolare AC X dell' anomalia media .

DIMOSTRAZIONE . Sia T il tempo intiero della rivoluzione del pianeta , e t il

tempo che impiega per passare da A in M , per la regola delle aree proporzionali ai

tempi , sarà t a T, come il settore ASM alla superficie dell' ellisse . Parimenti, es-sendo A C X 1’ anomalia media , sarà t a T come A C X alla superficie del cerchio .Dunque ASM è ad ACX come la superficie dell’ ellisse è alla superficie del cerchio;

ma per la proprietà dell’ ellisse , dimostrata in tutti i libri delle sezioni coniche ,

A M S sta ad A N S , come la superficie dell’ ellisse alla superficie del cerchio : abbia-mo dunque due proporzioni che anno tre termini comuni vale a dire ASM, la su-perficie dell’ellisse , e la superficie del cerchio ; dunque il termine , che sembra diffe-

!o stesso ; dunque ACX ed A N S fono uguali tra loro . dà

sente è pure uguale oeh’era da dimostrare.

488. LEMMA II. In ogni triangolo rettangolo MRS ( fig. 55 ) se l' angolo R S MdivisoJn due parti uguali , la tangente della metà dell’ angolo RSM sarà uguale

ad

R MR S t S M

Poiché presa SB rr SM; farà l’angolo B uguale alla metà dell’ango-

MR__ M R R M

lo S ; e la tangente dell’ angolo B ~ n

R S + S B

' R S + S M '

489. LEMMA III. Il raggio vettore SM è uguale a P A — SR

e facendo

CA — a , C R ~ x, CS~e, farà il raggio vettore SM H (o-f-x) — 3 (e-f-x) ,

a

o ciò eh’è lo stesso ~ a 1 -f-ex. Poiché per la proprietà la piU cognita dell’ellisse, èa

SM-fFM^ 2 a\ supponiamo SM ~ i-f t, ed FM ” n — s; farà RM>, o La

y* = SM — S R* ~ il J -j* 2 * S *f- t: e; — e e — 2 ex — xarmSM* — SR — "2 3 Z-b ZZ — e e -f- 2 e x — xx: ed uguagliando questi due valori , li ha 2 » t —2 f * — — 2 a z -f» 2 ex ; z~ ex; dunque SMza + ex, o ciò eh’ è lo stesso, S M

a a

PR.SA

“ CA “ SRl

490. TEOREMA . La radice quadrata della distanza perielia sta alla radice quadratadella distanza aselia , come la tangente della metà dell' anomalia vera fi ha alla tangentedella metà dell’ anomalia eccentrica .

Nei triangoli rettangoli MSR ed NCR, impiegando le espressioni ricavate dal?

R M

articolo 488, fi ha questa proporzione: tang. i- MSR : tang. -j NCR :: SR + SM '

CR + CN ’ ponendoti in vece della ragione RM : RN , quella di CD : CA ad essa

S A

eguale per la proprietà dell’ellisse ; e in vece di SR -f- SM il suo valore PR .

( 489 ) : finalmente PR in vece di CR -j- CN , la proporzione farà cambiata in

questa -. tang. -MSR: tang. - NCR p R ' P r " c D • s A •• v a a — e e :• ifi e Va — e : R' a *f* e , dividendo li due ultim i term ini p er ts a >Hk e . Sa rà dun-que tang. i MSR : tang. î- NCR :: ^ a — e : ^a + e : : ^PS : /SA : vale adire, la tangente della metà dell’anomalia vera ASM si ha alla tangente della metàdell’anomalia eccentrica ACN , come la radice quadrata della distanza perielia PS liha alla radice quadrata della distanza aselia AS.

R

49». TEO-