PREMIÈRE PARTIE.

THÉORIE.

r r

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Nous allons maintenant examiner ce que devient le secondmembre, quand u devient infini.

En supposant d’abord, pour v, un nombre fixe, et x étant, envaleur absolue, moindre que l’unité, on voit immédiatement queA v converge vers x v : car les facteurs du premier groupe, au secondmembre de l’expression (5), convergent individuellement versl'unité, et ceux du second groupe vers x. L’expression limite deA v a v est donc x v .r v , et l’on est conduit à faire l’bypolbèse que lavaleur absolue de y.x soit inférieure à l’unité. Movennant cettehypothèse, la série illimitée

s = ÿ jüfTr

-- ' —

1

est convergente. Chacun de ses termes, de rang déterminé, est lalimite du terme occupant le même rang dans la suite limitée

s'= ViïSL.

1 — X‘y

1

D’autre part, en écrivant A v sous la forme (5) modifiée ainsi

/ __ ( _ *’ A+2 \ / ïiA-V'

>v (l -- a|A-V <-! )(, — a |l-V+» _ gjl) X )y x / ’ * \ 1 ~J

'* (1 — a!A-v+i x)(i — a!*— v + 2 .r)...( 1 — aH-.r) (i—*!J.+i)(i— )...([.— ’

on voit que le quotient A v : x v est composé par le produit de fac-teurs appartenant aux trois produits illimités suivants, tous abso-lument convergents,

l.l. (i “*“)’ ll<.-*«*), | L(7);

1 1 1

donc A v :j. ,v est limité, en valeur absolue, et la somme destermes qui, dans S’, correspondent à des valeurs de v supérieuresa un nombre donné N, est comparable à la somme des termes cor-respondants dans la série S. Elle est donc, par le choix de N,aussi petite que l’on veut. Donc la limite de S' est égale à lasomme de la série S.

La dernière somme, au second membre de l’expression (6) de