CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÊTRIQIES. 4 1 Ô

s(.r. ^v), diffère de la précédente par le changement de x, y en ^et -• On doit donc faire maintenant la supposition ipie la valeur

absolue de —soit inférieure à l'unité. Cette somme a, dans cesx J

conditions, pour limite celle de la série

s

^ I —1

La double hypothèse laite précédemment s'exprime par les iné-

(:) M<M<

gai i lés

Par cette notation |.r|, assez usitée depuis quelques années, onentend la valeur absolue (module) de la quantité x placée entreles deux traits.

Il nous reste à trouver la limite de C -t- -A v . Pour ce but, noussupposerons d’abord |x|<i, hypothèse compatible avec cellesqu’on a déjà faites ( 7 ), et que nous ferons ensuite disparaître. L’ex-pression de C étant écrite ainsi

C =

x'V- • ‘

I - X

- 1" | 1 1 — a"

1"X I I I — -j. n x ~ 1

n

n

n — 1 , 2 ,

on voit que C converge vers zéro. En même temps, par les raisonsinvoquées tout à l’heure pour S', on voit que 2 A v converge vers lasomme de la progression

Donc

x + j’S- .r 3 -K

x

1 — x

lim

Ul= »

(G-

I — X■ i

I- X

( 8 )

lim v(x y y') =

tl = oc *

1 I -r- X

2 1 — X

\

1

V =: « V = «

— r y x ‘y 'Y' ^x-\v-<

-y ~ 1 — **y > — l'y-' '

V = 1 v=l

Cette formule est prouvée sous le bénéfice de l’hypothèse