qu'on * les taille detelle manière qu’ilsne soient en contactque suivant les arê-tes ou génératricesqui ont leurs piedssur la courbe cc 9 descentres de gravitédes voussoirs.
Ensuite il fait ab-straction des frotte-ments et de la ré-sistance qu'opposel'adhésion des mor-tiers au glissementdes voussoirs les unssur les autres, qui du reste ne se développent pas en seconformant aux dispositions indiquées par la théorie.
Il est évident que si l’équilibre peut exister dans unsystème établi suivant ces hypothèses, il existera à for-tiori lorsque l’on remplacera le contact de deux arêtespar celui de deux plans de joint, et que l’adhésion desmortiers ainsi que le frottement .pourront prendre nais-sance, le rôle de ces dernières forces étant de s’opposerau glissement, quand il tend à se produire.
Seulement, il faut remarquer que la pression T, quise répartirait également sur tous les points du plan dejoint, dans le cas où. elle passerait par le centre de gra-vité de ce joint, ne se partagera pas également entretous ses points, à cause que les centres de gravité desfaces des voussoirs ne se trouvent pas sur la courbe cc\mais se projettent sur les points milieux de l’épaisseur dela voûte. Les centres de gravité des volumes des vous-soirs se projetant plus près de l'extrados que ceux desfaces de joint, on voit que lorsqu’on remplacera lesarêtes de contact par les faces de joint, la pression parunité de surface sera plus grande vers l’extrados quevers l’intrados. Mais les distances des points de lacourbe c c’ aux points milieux des épaisseurs qui leurcorrespondent étant très petites, on peut généralementne pas tenir compte de cette inégale répartition despressions; la pression maximum ne différera que trèspeu de la pression moyenne. D’ailleurs il suffira,pour faire disparaître cette inégalité, de refouiller lejoint à l’intrados, à une profondeur très petite, et telleque la courbe des centres de gravité c c’ passe par lemilieu du joint réel; en pratique, cette précaution estnégligeable.
Il y a un grand avantage à ce que la résultante despressions passe très près du milieu de l’épaisseur, et,soit en même temps normale au plan de joint ; car si lavoûte est soumise accidentellement à des charges aux-quelles on n’aura point eu égard en fixant les condi-tions de son établissement, l’action de celles-ci sera,tant que l’équilibre pourra subsister, de déplacer lepoint d’application de la résultante des pressions, enfaisant varier son intensité et sa direction. Or, pourque cette résultante puisse se déplacer dans un sens oudans l’autre, sans trop se rapprocher de l’extrados oude l’intrados, ni trop s’écarter de la direction de la nor -male, il est évident qu’elle doit passer par le milieu del’épaisseur et être normale au joint lorsque les sur-charges dont il s’agit n’ont pas lieu, c’est-à-dire, lors-que la voûte est seulement soumise à l’action des forcesqu’on a fait entrer dans le calcul de son établissement.
Cela posé, considérons l’équilibre d’une portionquelconque cc’ de voussoirs du système de la fig. 2562,soient a\ y, et x\ y', les coordounées de c et c\
Les forces extérieures à ce système sont :
T, pression agissant en c.
T’, pression agissant en c\
d P, les poids des voussoirs.
les autres forces extérieures qui agissent sur
les divers poiuts du système et passant par les centresde gravité des voussoirs. *
Ces diverses forces étant dans un même plan, troisdes six conditions d'équilibre d’un système solide sontsatisfaites, et il ne reste qu’à appliquer les trois autres.
Deux de ces équations expriment que la somme desprojections des forces extérieures sur chacun des axesX, Y est nulle.
La troisième exprime que la somme des moments deces forces ou de leurs composantes, par rapport à untroisième axe perpendiculaire aux deux premiers, estégalement nulle.
L’indice x ou y employé dans les formules suivantesindique, par exemple, que F x est la projection dela force F sur l’axe des a?, et Fy celle de F sur l’axedes y.
En égalant à zéro la somme des projections des for-ces extérieures sur l’axe des x t et observant que celle dela somme des poids dP est nulle, il vient
T cos. <
(i)
a — T’cos. a’ F-pds = 0.
En projetant ces forces sur l’axe des y, et égalant 1asomme des projections à zéro, on obtient
T sin. a—T’sin. a’ dsdV = 0. (2)
En faisant la somme des moments par rapport à unaxe perpendiculaire au plan des x y, et passant parl’origine O, puis l’égalant à zéro, on obtient cette der-nière condition
a;Tsin. a — x ’ T’ sin. a’ — (yT cos. a —y’T’ cos. a*)
y’ / , <p’
-\-j xFy ds—j yF x ds—j a;dP = 0. (3)
Or, remarquons que ces équations devant avoir lienpour un intervalle quelconque c c’ t compté sur la courbedes centres de gravité, auront encore lieu lorsque cetintervalle sera infiniment petit et égal à ds. Dans ce casa?’ deviendra x-\-dx, et les quantités a’ et T’, qui sontdes fonctions de x\ deviendront a-j-d*, et Tde telle sorte que l'on aura
T’cos. a’—T cos. a=(T-f-dT) cos. (a+da) — T cos. a= d (T cos. a),
et de meme
T’ sin. a’ — T sin. a == d (T sin. a),tandis que les intégrales contenues dans ces mêmeséquations se réduiront à.un de leurs éléments. En sup-posant donc l’intervalle cc’ infiniment petit, et ayantégard aux remarques précédentes, les équations d’équi-libre (4) et (2) deviennent t
d (T cos. et) = F x ds ... (4)d (T sin. a) = Fy ds. -J- dP . (5j
Quant à l’équation (3), elle prend une forme tellequ’il est facile de voir qu’elle est une conséquence deséquations (4) et (5).
Ces deux dernières équations étant applicables à unélément quelconque de la voûte, expriment donc lesconditions nécessaires et suffisantes pour assurer l’équi-libre du système.
Appelant :
g, l’épaisseur AB de la voûte au point dont les co-ordonnés sont xety (fig. 2562) ;
f, la pression moyenne sur la face AB, lorsque lessurfaces de contact sont rétablies; d’après la remarquecol. 3839, la pression maximum par unité superficielledifférera peu de t dans le joint AB, et nous auronsT = Xef ;
X, dimension du joint, parallèlement à l’axe de 1»voûte ;