266

DIMOSTRAZIONE

Se dal punto E si lirano Ie linee EB ed EC.Ja figura sara divisain tre triangoli BEC, ABE, ed ECD; orase per il punto G si mena dalinea HI paralella a AD, e che si dividano le basi AE ed ED in düeper mezzo nei punti MN, per tirare le linee BM e CN; egli e certo chela paralella HI che passera per il terzo della linea BM e CN, dara ipunti K e L, che saranno i centri di gravita dei triangoli ABE, edECD, per 1’ articolo sesto. Ma questi triangoli sono eguali poiche hannola medesima altezza e basi eguali, il loro centro comune di gravita saradunque nel mezzo decla linea KL per conseguenza al punto G. Da altraparte il centro di gravita del triangolo BEC e al punto F,poiche la lineaOF e il terzo OE: ne segue dunque che il centro comune di gravita diquesto triangolo e delli altri due ABE ed ECD uniti insieme, cioe adire del trapezzoide, stä in uno dei punti della linea FG, C, Q, D, eioche bisognava dimostrare.

PROPOSIZIONE QUARTAProblema

Trovare il centro di gravita di un trapezzoide.

Si e veduto nel teorema precedente che se la linea OE che passaper il mezzo delle paralelle BC e AD fosse divisa in tre parti eguali, ilcentro di gravita di tutta la figura sarebbe in uno dei punti della lineaFG. Ora per trovare questo punto noi riguarderemo la linea FG comeuna leva alle estremita della quäle fossero messi due pesi, di cui quellodella estremita F sarebbe equivalente al triangolo BEC, e l’altro dellaestremita G equivalente alla somma de’ due triangoli ABE ed ECD; esupponendo che il centro di gravita che si cerca sia al punto P, egli ecerto che nello stato di equilibrio vi sara lo stesso rapporto tra il trian-golo sospeso al punto F, e la parte GP, che tra la somma dei triangolisospesi al punto G e la parte FP, ma siccome questi tre triangoli hannola medesima altezza, cosi saranno fra essi come le loro basi; cioe a direche il triangolo BEC sara alla somma delli due triangoli ABE ed ECD,come BC e al AD; cosi affinche il punto P sia il centro comune di gra-vita di questi tre triangoli, o del trapezzoide, bisogna che BC sia a ADcomeGPe a PF, cio che fa vedere che per trovare il centro di gravita di untrapezzoide, bisogna per il mezzo delle paralelle BC e AD tirare la lineaOE, dividerla in tre parti eguali, e quella del mezzo FG, in due partiPF,