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Diese ist immer aber nur auf eine einzige Art möglich, wenn die Gleichung 18)sich auf den ersten Grad reducirt, wenn nämlich
U- — ^6 — o
38)
wird. In diesem Fall können wir der umgeformten Gleichung 19) auch nochfolgende Form geben:
^ ^ -f-
->-2Yx
39)
und der Ausdruck, den wir für Y erhalten, ist: <? — -— LO.
Setzen wir in 39) x — d. h. suchen wir die beiden Durchschnitte derCurve mit der zweiten Achse, so kommt auch — o. Es fallen also jene Durch--schnittspunkte im Anfangspunkte der Koordinaten zusammen, d. h. die Curve wirdin diesem Punkt von der zweiten Achse berührt. Weil das erste Glied der Gleichung39) ein Quadrat ist, so muß, damit ^ fernere reelle Werthe erhält, das Zeichenvon x dem des Zeichens von entgegengesetzt genommen werden. Es gibt alsonur nach einer Seite der x hin, nach der positiven oder negativen, je nachdem
AL — LO o oder — LO > o .... 40)
ist, noch Punkte der Curve. Bei dieser Beschränkung kann der Werth von xjeder beliebige sein; die Curve erstreckt sich also nach einer Seite hin in's Unendlicheund-heißt eine Parabel.
Es können endlich noch die beiden Gleichungen
-s- Um -j- I) — oLn -s- Om -s-C — o
21 )
identisch sein; alsdann lassen sich auf unendlich viele Weisen aus der allgemeinenGleichung des zweiten Grades die mit den ersten Potenzen von x und ^ behaftetenGlieder fortschaffen, d. h. die Curve hat unendlich viele Mittelpunkte, derengeometrischer Ort die beiden zusammenfallenden Durchmesser sind, welche durch diebeiden letzten Gleichungen, im Fall in und n veränderlich werden, ausgedrückt sind.Für die diesem Fall entsprechenden Bedingungs-Gleichungen erhalten wir aus jenenGleichungen oder aus lölro. 5 die Bedingungen:
—M —o, —^.6 —o
41)
Von diesen ist auch UC — 6O — o eine Folge. Der Gleichung, die sich beider angezeigten Umformung ergibt, können wir mit Berücksichtigung der erstendieser Bedingungs-Gleichungen folgende Form geben:
— X X-f- D. — o,
woraus wir sehen, daß die bezügliche Linie des zweiten Grades ein Systemzweier Parallelen ist. Für k erhalten wir, wie in 10) den Ausdruck:
H — On -j- Lm -s- k)
Substituiren wir in diesem den Werth von n, aus einer der beiden Gleichungen 21),so fällt nach der zweiten Bedingungs-Gleichung 41) m von selbst weg, und es
k — o- —
bleibt bloß:
42)
Je nachdem dieser Ausdruck negativ, Null, oder positiv ist, sind jene beidenParallelen reell und verschieden, fallen zusammen, oder werden imaginär.Wir haben also gesehen, in welchen Fällen die Gleichung 28) eine Ellipse,