318

Neuntes Kapitel.

Diskussion der allgemeinen Gleichung der Flächen

zweiten Grades.

8. 162.

o 1)lcrl-i

Wir haben schon gesehen, daß alle Flächen des zweiten Grades unterGleichung

^?-I- 8^ 6x--s- 2/V'x^ 28'xx -s- 28 ^-j-26"x-s-0

begriffen sind. Wir müssen jetzt mittelst dieser Gleichung untersuchen, wie v" ^besondere Arten von Flächen durch jene dargestellt werden können; in was bjede derselben von der andern unterscheidet; was für besondere Eigenschaften nzukommen; welche Gestalt sie haben rc. ^

Um diese Zwecke zu erreichen, und vorzüglich um uns deutliche Bilder der»untersuchenden Körper zu verschaffen, wollen wir uns bei der Diskussion derstEHülfsmittel bedienen, wodurch uns dieses Bild sowohl durch die gefundenestimmungs-Formel, als auch durch den Weg, auf dem diese gefunden w»r 'klargemacht wird. Die vorzüglichsten Bestimmung?-Mittel find: Folgen pak«^'die zu untersuchenden Flächen schneidender Ebenen, nachher auch schneidendeoft auch berührende und Normal-Ebenen rc. In Beziehung auf die Discunder Linien des zweiten Grades, in welchen die Flächen von jenen parallelen^ ,geschnitten werde», verweisen wir auf die vorausgeschickten Sätze in der Einle"dieses Buches.

Wir wollen zuerst die Untersuchung derjenigen Fälle vornehmen, indurch die Gleichung 1) nur Ebenen, Linien oder Punkte dargestellt werden. ^Wir haben schon im vorigen Kapitel §. 132 gesehen, daß die Umformu»öGleichung 1) §. 162 in folgende

(r -s- -j- bx -s- c) (L -j- g ^ -j- b'x -j- «9 -j- x xy -j- "

am leichtesten dazu führt, um die Fälle zu erkennen, in welchen die Gleicht8- 161 eine Ebene ausdrückt. ^

Die so eben statt jener substituirte Gleichung 1) wird eine Ebene ausdru^wenn p' — o, p" — o, p" — o ist. Die Werthe der übrigen Coefsi^ ^u, 6, e, u' rc. bleiben wie sie in Nro. 6) 8- 132 gefunden werden, so daß ^in dem erwähnten Fall die Bedingungs-Gleichungen, unter welchen die buk"Gleichung 1) ausgedrückte Fläche in eine Ebene übergeht, folgende sind:

v,'M"

tl

l)

86 ^ ,/(8'- — ^.6) (ll'- — ^.8) —

2 )

^V8 — /(O-

^8) (/V--— ^0) — o,

^"8'^ /(8^— ^0) (/V-— -- o. ^

Die Gleichungen der Ebenen selbst, welche durch die Gleichung 1)Fall ausgedrückt werden, sind (man vergleiche 8> 152 iXrv. 9) und 59-