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hat. Wenn wir aus irgend drei dieser Gleichungen Werthe von tX, 8, 6 finde«'welche auch die übrigen Gleichungen in 4 ) befriedigen, so ist die Curve 1 )einfacher Krümmung, und die Gleichung ihrer Ebene ergibt sich, wenndie für ^X, 8, 0 gefundenen Werthe in 3 ) einführen. Werden aber die übrige«jener Gleichungen lXro. 4 ) durch die Werthe von -X, 8, 6 nicht befriediget, ^ist die Curve von doppelter Krümmung.

Sechstes Kapitel.

Von den K e g c l f l ä ch e n.

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Wir wollen von der Erzeugung der Kegelflächen wie bei jenen der Cyli«^'zwei Definitionen aufstellen, und die darin ausgesprochenen Bedingungen alsda««durch Gleichungen auszudrücken suchen.

I. Eine Kegelfläche wird von einer Geraden erzeugt, welche sich so bewegtdaß sie immer durch einen gegebenen Punkt (a, Ir, o) geht, und zugleichwährend eine gegebene Curve schneidet. Der gegebene Punkt heißt der Mit^'Punkt oder auch Scheitel des Kegels, und die gegebene Curve heißt die Le>ilinie, Directrir. .

II. Denken wir uns eine feste Linie 8, und auf derselben irgend einen P««O als Koordinaten-Anfang. Diese feste Linie schneidet eine Ebene 8, in wfi^sich eine Curve, die einen Parameter hat, befindet, in einem Punkt innerhalbCurve 6. Die Ebene 8 sammt der Curve 8 bewegt sich, ohne eine Dreh«"'

F

um ihren Durchschnittspunkt mit der Linie I-< zu machen, immer in parallelergegen irgend eine andere gegebene Ebene 8,; während dieser Bewegungder Parameter der Curve 6 in einem constanten Verhältniß zur Entfernung

Durchschnittspunkts der beweglichen Ebene 8 mit der gegebenen Linie 8 von

da'

Coordinaten-Anfang O, und es wird alsdann die Curve 6 eine Kegelfläche beseht

Klen

Um die in der ersten Definition ausgesprochenen Bedingungen durch eine"

o) für die Koordinaten des gegel««^

8 (x, 7, 2) — o

r)

chung auszudrücken, nehmen wir (a, bPunktes; ferner seien I (x, ^, r.) — odie Gleichungen der Directrir, und

x — n — n (r. — n), ) — 1, — N, (L — e)

die Gleichungen der Erzeugungslinie in irgend einer ihrer Lagen.

Soll diese Gerade 2 ) die Curve 1 ) schneiden, so müssen für den Durch>ch«^Punkt die vier Gleichungen 1 ) und 2 ) zugleich bestehen. Durch die Elinn««von x, > und ?. aus jenen Gleichungen erhalten wir zwischen den Coesfi^"^.n und n, und den Constanten n, Ir, c eine Gleichung, die, wenn wir in ^Werthe von n und n, aus lXro. 2 ) einführen, die Gleichung der KegelfläA «