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ist. Setzt man in den letzten Gleichungen L — X6 , so wird der unbestimmte

Ausdruck — — vermieden,o

XV. Um endlich noch die Gleichung einer die Curve zweiten Grades ineinem Punkt (xz, ^,) berührenden Linie zu finden, verlegen wir den Coordinatcn-Anfang auf die Curve selbst, indem wir in der Gleichung 28 ) t -st- x,, undn -st- respective für x und ^ setzen, und bemerken zugleich, daß, weil derPunkt (xi, auf dem Umfang der durch die Gleichung 28 ) ausgedrückten Liniezweiten Grades liegt, auch:

X^? -st- 2Lx.^, -st- 6x? -st- 2V7, -st- 2Lx. -f- x — 0sein muß. Dadurch erhalten wir aus 28 ):

Xu"-st- 2 l 8 ut-st- Gt"-st -2 (X^ -st-8x^ -st-D) u -s- 2 (D^i -s-Oxz -st- ^)t —o 1 f)

Ferner wissen wir, daß jede durch den neuen Koordinaten-Anfang gehende Linie

durch eine Gleichung von der Form: u — nt . 2 ')

ausgedrückt werden kann. Eliminiren wir u aus diesen beiden letzten Gleichungen,so erhalten wir:

(Xu- -st- 2l8u -st— G)t"-st— 2 j(X)^j -st—k8xi -st— D)u -st- 6^^-st- 6x^ -st- t—o,

eine Gleichung, aus welcher r zwei Werthe erhält, von welchen der eine Null ist,was auch n sein mag. Soll nun die Gerade 2 f) die Curve U) berühren, so mußder andere Werth von t dem erstem gleich, also ebenfalls Null sein, was nurstattfindet, wenn

(X^i -st- 6xj -st- D) ii -st- -st- 6xz -st- H — o

ist, woraus wir

„_^ (L71 -I- -st- L)

X^ -st- Lx, -st- 0

erhalten, substituiren wir diesen Werth von n in der Gleichung 2 ), so bekommenwir: (X^i-st-Lxi-st-O) u-st-(Lxi-st--st- v . . . 45)

Dieses ist die Gleichung der Berührenden in Beziehung aus das neue Coordinaten-System. Kehren wir wieder zu dem ursprünglichen zurück, indem wir respectivex — X; und ^ für t und u setzen, so erhalten wir mit Berücksichtigung

der Gleichung:

X^^ -j- 28 x ^1 -st- 6x/ -st- 20^i -st-2 Lx. -st- k — 0

folgende:

(X^ -st- Lxi -st- 0 ) ^ -st- HL71 -st- 6x1 -st- L) x -j- v^t -st- Lx. -st- k — o 46 )

Die Gleichung drückt die Linie aus, welche die Curve 28 ) in einem Punkt (x>, ^,)berührt.