ROULEMENT CYLINDRIQUE.

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prochent de plus en plus, les unes des autres, jusqu’à ce qu’ellesarrivent finalement à être' infiniment voisines, le tracé précédentfinit par donner une image fidèle de ce qui se passe en réalité. Dansl’hypothèse que nous venons de faire, les sommets des deux poly-gones polaires se rapprochent également, les uns des autres, et finis-sent par n’être plus distants que de quantités infiniment petites, detelle sorte que les polygones eux-mêmes se transforment, d’une ma-nière générale, en courbes, dont les côtés infiniment petits, d’égalelongueur, viennent coïncider, en exécutant des rotations infinimentpetites autour de leurs extrémités ; par conséquent, pendant le chan-gement progressif et continu des positions relatives des deux figures,ce§ courbes roulent l'une sur Vautre. Chaque point reste alors centrede rotation, non, comme précédemment, pour une certaine périodede temps, mais seulement pou?’ un instant, et constitue, dès lors, ceque nous appellerons un centre instantané de rotation. Les courbesdans lesquelles se sont transformés les polygones polaires sonttoutes les deux parcourues, point par point, par le centre instan-tané de rotation, ou le pôle, et nous pouvons, par suite, les désigner,d’une manière convenable, sous le nom de trajectoires polaires desfigures mobiles. Lorsque ces trajectoires sont connues pour uncouple de figures donné, on peut déterminer complètement, parcela même, les mouvements relatifs de ces figures, môme pour despositions infiniment voisines; il suffit évidemment, pour obtenir cerésultat, de faire rouler, l’une sur l’autre, les deux trajectoires.

Il ressort évidemment de ce qui précède que les mouvements re-latifs de figures planes ne sont pas, en général, égaux; nous n’a-vons, en effet, rencontré aucune condition de nature à entraînercomme conséquence la congruènce des trajectoires polaires; il estbien évident, d’ailleurs, que l’égalité a lieu, du moment où cettecongruence vient à exister.

I" exemple. — Les problèmes sur les cycloides sont des exemples de mouvementsrelatifs de figures planes, dans lesquels les trajectoires polaires sont supposées don-nées. Lorsqu’un cylindre à base circulaire roule sur un plan, ce sont les sectionsnormales des deux figures qui se meuvent, deux à deux, dans un même plan ; lecercle IHJ et la droite AU, qu'on obtient ainsi, roulent l'un sur l'autre, et sont, parsuite, en même temps, les trajectoires polaires des deux figures et des éléments defigures qui peuvent se trouver reliés avec elles. Tons les points de PQ décrivent, parrapport a AU, des cyclo'ides, qui sont ordinaires, allongées ou raccourcies, suivantqu’ils se trouvent sur la circonférence, à l’extérieur ou à l’intérieur; d’un autrecôté, tous les points qui sont invariablement reliés à la droite Ali décrivent, par rap-port au cercle l’Q, des développantes, lesquelles sont également ordinaires, allongéesou raccourcies, suivant que ces points se trouvent sur la droite , au-dessous ou au-dessus.