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Zweites Kapitel.

Die gerade Linie.

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14. 'Wir sahen im letzten Kapitel, dass wir die Lage eines Punk-tes vermittelst zweier Gleichungen rücksichtlich seiner Coordinatenvon der Form x = ci, y — ,b bestimmen können. Es ist sicher,dass wir den Punkt gleichfalls bestimmen können, wenn uns irgendzwei Gleichungen des ersten Grades zwischen seinen Coordinatengegeben sind, wie

Ax + By + C—o, A' x B'y + C' =o;

denn diess sind zwei Gleichungen zwischen zwei unbekannten Grös-sen und wir können sie auflösen, indem wir nacheinander y undx zwischen ihnen eliminiren, um dadurch zwei Resultate von derForm

x = a, y b

zu erhalten.

Aufg. Welcher Punkt ist durch die Gleichungenix + 5 y = 13, ix — y — 2

gegeben ?

Aii/l. x = 1, y ~ 2.

15. Zwei Gleichungen höheren Grades zwischen den Coordi-naten repräsentiren nicht einen Punkt, sondern eine bestimmteAnzahl von Punkten; denn indem wir y zwischen den Gleichungeneliminiren, erhalten wir eine Gleichung, die nur x enthält; dieWurzeln derselben mögen ci u a 2 , « 3 ... sein. Wenn wir mm irgendeinen dieser Werlhe («j) für x in die ursprünglichen Gleichungeneinselzen, so erhallen wir zwei Gleichungen in y, welche eine ge-meinschaftliche Wurzel haben müssen, weil das Resultat der Eli-mination zwischen den Gleichungen durch die Voraussetzung x—a tgleich Null wird. Ist diese gemeinschaftliche Wurzel y = ß t , sogenügt der Punkt von den Coordinaten x = a , y = ß t beidengegebenen Gleichungen zugleich; ebenso der Punkt, dessen Coordi-naten x= or 2 , y=ß 2 sind u. s. w.

Wenn die gegebenen Gleichungen rcspcclive vom m tm undn (e " Grad sind, so ist die Gleichung in x nach der Theorie derElimination vom mn 1 ’" Grade, sie hat folglich mn Wurzeln k,,k 2 . . . und die zwei Gleichungen repräsentiren daher mn Punkte.