Z. 7. Von den gleichen und ähnlichen Figuren.

47

Beweis. Nach den gemachten Vorausse-tzungen ist die Seite AS—A'(?, AS> —A'7>,der Winkel SAS> -SAS^- S'A'S' —S'A'S,d. h. SAO--S'A'S', folglich ASS ^ A'S'S'

(ß. 5, 1). Eben so erkennt man, daß ASL'^

A'S'L', A^'L' A'O'LH und daß SSS^LS'S'S', SSL: S'SS' , SOS ^ S'S'L?.

Aus den Ergebnissen SSS ^ S^SS>, SSL^ SSS/S wird ferner geschlossen, daß SSL^ S'S'L', u. s. f.

Anmerkung. Je nachdem ein Paar entsprechende Dreiecke dergleichen und ähnlichen Figuren einerlei Sinnes oder entgegengesetztenSinnes sind, so sind es alle Paare von entsprechenden Dreiecken unddie ganzen Figuren.

2. Zu zwei gleichen Strecken AS, vstS^ auf Geraden, welche sichin S schneiden, giebt es einen Punct S, mit dem die Strecken gleicheund ähnliche Dreiecke von einerlei Sinn bilden. Ist nämlich S derzweite Durchschnittspunct der Kreise SAA', SS/L, so haben die Drei-ecke LAS, SA'LL der Reihe nach gleiche Winkel (Z. 4, 7) und die SeiteAS—A^LL, folglich ist SAS^SASL (ß. 5, 3). Zugleich ist der Win-kel ASA' --- SSS' — AS'A'S' (ß. 4, 7). Durch S gehn die Gera-den, welche AA' und SS^ normal halbiren, weil AS ^ A^S und SS^ S^S. Durch S geht auch die Gerade, welche den Nebenwinkel desvon AS und ASL gebildeten Winkels halbirt, weil S von AS undA^ gleiche Abstände hat (tz. 6, 7. 8). Wird die Figur SAS in ihrerEbene um S gedreht, bis SA mit SA^ oder mit der entgegengesetztenVerlängerung von SA^ zusammenfällt, so gelangt AS zur Deckung vonA'S' oder bildet mit A'S' ein Parallelogramm, dessen Centrum S ist

( 8 - 6 , 1 ).

Ferner giebt es eine Gerades, mit der AS und A^ entge-gengesetzt gleiche Winkel bilden,und von der die Puncte A undA/, S und S' entgegengesetztgleiche Abstände haben. Ist «die Mitte von AAH und die Ge-rade « durch « parallel mit derHalbirenden des WinkelsAS'ASLgezogen, sind ferner die GeradenAS und A'S normal zu s, sosind die Dreiecke «AS und «A^S

V.