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Viertes Buch. Planimetrie.

2-'.t,L, 0 -s- . .) kann insbesondere einen von 0 unabhängigen Werthhaben (Z. 9, 11); dann ist die Forderung von solchen Puncten O, fürwelche die Summe -i- . . einen beliebig gegebenen Werth erhielte,sich selbst widersprechend. Im Allgemeinen hat aber die Summe2(^i Li<) . .) einen Werth, der das von O mit einer bestimmtenStrecke (AS) gebildete Dreieck um eine bestimmte Größe übertrifft. Beihinreichender Hohe dieses Dreiecks hat also auch die Summe 0 ,- 1 , -i-..den geforderten Werth, und behält denselben, wenn 0 seinen Abstandvon der Basis (AS) behält.

§. 11. Ähnlichkeit der Dreiecke.

1. Wenn zwei Dreiecke zwei Winkel der Reihe nach gleich haben,so sind sie ähnlich, d. h. die Seiten des einen Dreiecks haben derReihe nach zu den Seiten des andern Dreiecks, welche den gleichenWinkeln gegenüberliegen, gleiche Verhältnisse, und das Verhältniß derFlächen ist das Quadrat des Verhältnisses von Seiten der Dreiecke,welche gleichen Winkeln gegenüberliegen. Lud. VI, 4—7. 19.

Wenn der Winkel A — O, L — L, so ist ALS M DLL (vergl.8- 5, 1) d. h.

LS : LO gegenüber den gleichen Winkeln A und O— SA: OO - - - - L und L

--- AL : OL - - - - S und S,

und ALS : DLL ----- (LS: L/H 2 .

Beweis. Macht man auf OL die Strecke LS--- AL und zieht SO parallel mit LL, so ist SS: OL ---- SO : LO ----- OO: OO (Z. 8, 2). Ausder Bemerkung, daß die Winkel //SO und OLOgleich sind, folgt aber in Verbindung mit den Vor-aussetzungen, daß die Dreiecke ALS und OSOgleich und ähnlich sind (Z. 5,3). Also ist AL: OO— LS : LO — SA : OO. Das Verhältniß ders Dreiecksflächen findet man aus A. 10, 3.Anmerkung. Bei ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Seitendes einen zu einander der Reihe nach wie die den gleichen Winkeln ge-genüberliegenden Seiten des andern. Denn die ProportionAL : LS: SA OO : LO : OO

umfaßt die bewiesenen Proportionen (Algebra 8-1,5 und 6). Stattderselben Proportionen können auch die Gleichungen von Producten