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Viertes Buch. Planimetrie.

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Beweis. Zieht man parallel mit derTangente des Kreises AL eine Gerade, welcheA77, AO, A7) der Reihe nach in 77, , 0, , 7),schneidet, so ist der Winkel LA77 sowohl denWinkeln 0,77,A, 7),77,A, als auch den Win-keln AOL, A7)L gleich, folglich sind die Drei-ecke <7,-4SO den Dreiecken AO,L,, .17), 77,ähnlich, und man hat

A77.A77, --- AO.AO, — A7).A7),,mithin (13)

(77)

A0.A7)

7)L 770 ^

A/Ü.177 ' A7t .AO "

i

7),L, : 77,(7,.

Nun ist 0,7), -s- 7), 77, -j- S,0, --- 0, weil die Puncte L,, 17,, 7),auf einer Geraden liegen (1); folglich (Algebra tz. 1, 7) die Summe(777 7)77 LO ^

.1(7..1/) ^ .47-..1/7 ^ AL.AO '

wenn die Zeichen der Glieder der Reihe nach mit den Zeichen der Stre-cken (7,7),, 7),L,, 77,(7,, also auch mit den Zeichen der Dreiecke A07),A7)77, ALO in Uebereinstimmung gebracht sind. Durch Multiplicationmit AL.AO.A7) findet man

AL.07) -p- AO.OL Z- A7).LO--- 0.

Weil jeder der gegebenen Puncte vom Dreieck der übrigen Puncte aus-geschlossen ist, so müssen von den 3 Paaren gegenüberliegender StreckenA77 und (77), AO und 7)77, A7) und 770, ein Paar »«verlängert sichschneiden, während die andern Paare unverlängert sich nicht schneiden.Das Product der sich schneidenden Strecken ist negativ zu nehmen, wennman die Producte der sich nicht schneidenden Strecken positiv genom-men hat.

Bei einem dem Kreise eingeschriebenen Viereck, dessen Perimetersich selbst nicht schneidet, ist das Product der Diagonalen der Summeder Producte der gegenüberliegenden Seiten gleich.

Anmerkung. Für 5 Puncte eines Kreises A, L, O, 7), L hatman in gleicher Weise

LO

A77.AO

07)

ÄÖ(Ä7)

7)L LL^

A7) .A77 ^ AL.A77

--- 0.* *)

rechnung der zu den Centriwinkeln von 0 bis 180" gehörigen Sehnen eines Kreisesvon Ptolemäns (AImLAS8t I, 9) berichtet worden ist. Die unbeschränkte Aufstel-lung des Satzes für irgend 4 Puncte des Kreises rührt von Mö bins her (Kreis-verw. 26 und 44).

*) Carnot Asoin. eis xos. 215.