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Fünftes Buch. Stereometrie.
us geschnitten wird. Außer diesem Punct kann die Gerade mit derEbene einen andern Punct nicht gemein haben, ohne ganz mit ihr zu-sammenzufallen.
Wenn die Gerade UL irgend eine Gerade 6D der Ebene, die zu-gleich der Ebene UL6 angehört, nicht schneidet oder mit ihr parallel ist,so kann sie mit der Ebene einen endlich fernen Punct nicht gemein ha-ben, weil US mit 6D keinen endlich fernen Punct gemein hat, und dieEbene UL6 mit der gegebenen Ebene keinen Punct neben 6D gemeinhat. Der gemeinschaftliche unendlich ferne Punct von US und 01), ihreRichtung -'Planim. tz. 2) ist das Gemeinschaftliche der Geraden undder Ebene.
3. Wenn von den drei Geraden a, 1, c je zwei auf einer Ebeneliegen, so haben sie im Allgemeinen einen Punct gemein, den gemein-schaftlichen Punct der drei Ebenen, und bilden einen Büschel vonGeraden (Plannn. H. 14, 8). Denn ein gemeinschaftlicher Punct vona und 1 liegt sowohl auf der Ebene ac, als auch auf der Ebene Se,folglich auf der Gerade» e, welche diese Ebenen gemein haben. Undwenn zwei unter den drei Geraden sich nicht schneiden, so können sieauch nicht von der dritten Geraden geschnitten werden.
Wenn die Geraden UD und 61) parallel sind und die Ebenen ULLund 61) L in der Geraden L1^ sich schneiden, so istLF" mit AS und 61) parallel, jede Gerade L6 desWinkels l'LU schneidet UL. Denn die Ebene 6L6schneidet die Ebene O6U in einer Geraden 611 desWinkels 1)64, von welcher UD geschnitten wird (Pla-nnn. tz. 2, 7). Also wird AS auch von L6 ge-schnitten.
Wenn von den Geraden 61), L1' jede mit der Geraden UD par-allel ist, so sind auch 61) und L'l' parallel/) Gesetzt, die Ebenen US6und 6L'1" schnitten sich in der Geraden 61>, so wäre 61> mit US par-allel, mithin 6D nicht mit AS parallel gegen die Voraussetzung.
4. Wenn zwei Ebenen n, mit einer Geraden e parallel sind,so ist die Gerade «ch welche sie gemein haben, mit der Geraden o par-allel. Nach der Voraussetzung giebt es auf der Ebene a eine Gerade aund auf der Ebene ,3 eine Gerade 1, die beide mit c parallel sind (2).Daher sind die Geraden a und S parallel (3), und von den drei Ge-
*) Lud. XI, 9. Der Beweis wird daselbst lnit Hülfe einer normalen Ebene ge-führt. Die abstracte Geltung des Satzes ist von Bolyai und Lobatschewsky ge-zeigt worden.