Z. 6. Polygonometrie und Polyedrometrie.
339
7?06O8L« -s- 00608^56 -s- 0O608 56Z, — 0,
0-4 608r/ö -s--10 608 -s- 00608r/2 — 0,
s -47? 608 26 ->- 7?0 608U^ -s- 0-4 608 L56 ^ 0.
i Biultiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach! mit 0-4, 07?, 00, so erhält man durch Addition die! erste der aufgestellten Gleichungen, weil 0-4. 00 008
-s- 00.0A oo8Lcv — o, u. s. w. Aus den Gleichungen
20-4.7?O608 56« -s- 200.0-4 608^56 -s- 20-4.07?608 5rz, —0200. 0-4 608^ -j- 002 0^2 — 0-4 2 0
2AO.OLoo8^ -s- -402 -s- 07?2 — -47?2 -- 0(H. 4, 40) folgt die andere der zu beweisenden Gleichungen.
Die erste Gleichung giebt zu erkennen, daß 2 und 0 normal zueinander sind, wenn sowohl -v und «, als auch ^ und S normal zu ein-ander stehn. Bergl. Planim. tz. 6, 9 und Stereom. tz. 6, 10.
Anmerkung. Wenn O, O, O), O) die Mitten von 0-4, -47?,07?, 00 sind, so sind die Geraden OO und 7-', O, parallel mit a, dieGeraden und 0)0 parallel mit n, die Strecke 0)0, — — OO— ^OO, u. s. w. Demnach ist
200.00)608--« -s- 002 -j- 00,2 ----- 00)227'0).0,7')60S56« -s- 00,2 -s- 0^0,2 ^ 7 ^ 0,2
folglich
0-4.7?06O 8 56« — 400.00,60856« ^ 00)2 — 00,2, „ s m.
7 . Bezeichnet man bei einem sphärischen Viereck 0-4S0 die Haupt-kreise, auf welchen die Bogen 0-1, 07?, 00, 7?0, 0-4, -47? liegen, durchM, N, 2 -, a, s, 6, so ist*)
sil» 0-18II>7?o608 56« — 608 07)608 0-4 — 608 OOoos-1/?,
8IN 0-t 8MO060856K -s- 8IN 07? 8111 0-4 608 r/ö-s-8111 008II1 -47?60826 — 0.
Beveis. Wenn o ein Durchschnitt der Hauptkreise L und a ist,so hat man (H. 5, 6)
608 07? — 6087?O608O0 - 81117?748iii740 60856«,
6080-4 — 608 Oo 608 74-4 - 8IN 00811174-4 60856«,
608 00 — 608 00608 00 - 81N 074 8111 740 608 56« ,
608-47? — 608 7?0 608 74-4 — 8in 7?74 8111 74-4 608 56«.
*) Du erste dieser Gleichungen rührt von Gauß her (visg. Aeiier. oiron 811 -psrl. 2, VI. Bergt. v. Stand! Crelle I. 24 p. 252 und des Vers. Determ. ß.1V, 4), die andere hat Joachimsthal Crelle I. 40 x. 45 hinzugefügt. Ueber denZusammentang dieser sphärischen Gleichungen mit den vorigen polygonometrischenGleichungei vergt. unten (15).
22