ß. 7. Die projectivischen Formeln.

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Beweis. Die beliebig angenommene Gerade habe mit den Ge-raden SS, SA, A/7 die Puncte S, S, //, mit den Geraden AS, //>,SS die entsprechenden Puncte S, S', //' gemein. Dann ist (9)

(SA, SS, SS, SS) --- (A, SS, <7, 6-)

— (SA, SS, SS, SS),folglich auf der Geraden, welche dieBüschel schneidet,

(S', S', S', S) -- (S, S', S, S)

-- (S, 6', S, S').

Man hat aber auch (S, //', S', S)

^ (S, S, S, 6'7 nach (12, I), d. h.

SS' . SS ^ SS , SS'

/SS' ' /SS ^ //s ' SS'

S'S' S'S — SS SS'

E //S' - //</ ^ /SS ' /SS''mithin (S, //, S', S) — (S, S', S, S'). Diese Gleichung entspringt ausder vorigen durch gegenseitige Berlauschung von S und //', oder vonS und S'. Also haben je 4 aus den 3 Paaren S und S', S undS'. // und /S geivählte Puncte dasselbe anharmonische Verhältniß alsdie entsprechenden Puncte.

Der zugeordnete Satz wird ebenso bewiesen.

Anmerkn ng. Die Gleichung (S, S,S,S') — (S, S',/S, S), durchwelche die Involution der 3 Paare S und S', S und S', // und //'von Puncten einer Geraden bestimmt wird, kann den AusdruckS/S SS SS —

S'/S //s S'S —

oder nach gegenseitiger Vertauschung von S und S, S und S',

SS' SS SS' ^s/s SS /'S' ^ 'erhalten und aus (6) abgeleitet werden.

Wenn ein Punct der Involution z. B. S unendlich fern ist, sofällt der entsprechende Ppnct S' mit einem bestimmten Punct 0 zu-sammen, der zufolge der Gleichung (S, S, S', S) — (S, //', S, S') soliegt, daß

(S, s, S) ,s, //', 0)^1, SS.S'O SO.S'Oist. Demnach hat s gleiche Potenzen in Bezug auf Kreise SS und SS'.

genauer untersucht und den Namen Involution eingeführt. Vergl. BrianchonIlKnss än 2. oräro 8 und Poncelet proxr. xros. 178, besonders aber ChaslesAp. Iiist. Hots X und Ssorn. snx. 339 ff. Aus der Projectivität der Involutionenerkennt man die Gültigkeit der obigen Sätze in der Sphärik.