ï)u Mouvement, Elliptique. 1^5

4 S 4 . Kêpler ayant trouvé que les planètes décrivoient desellipses avec des aires proportionnelles au teins , il ne luirestoit plus que d’en conclure le vrai lieu d’une planete pourun teins donné. Lorsqu’on commît le moment où elle a passéau point A et la durée de la révolution, on commit l'anomaliemoyenne : c'est en degrés que nous la prendrons, pour suivre laforme usitée dans les tables astronomiques, où toutes les ano-malies et toutes les équations s’expriment en degrés, minuteset secondes ; mais c’est aussi la surface du secteur ASM.

485. Il s’agit de trouver l’anomalie vtaie ou l’angle ASM dece secteur. K.épler sentit bien la difficulté de ce problème,Etant donnée ianomalie moyenne, trouver Vanomalie vraie,même dans un cercle, car la difficulté est à-peu-près la mêmeque dans l’ellipse : il se contenta d’inviter les géomètres à enchercher la solution , sans espérer qu’on la pût trouver d’unomaniéré directe, parcequ’elle suppose, ainsi qu’on le verrabientôt, le rapport entre les arcs et leurs sinus, ou la quadraturedu cercle, qui n’est donnée que par approximation.

486. Pour simplifier la question, l’on renverse le problème et l’on supposeconnue l'anomalie vraie pour en déduire l’anomalie moyenne : cette méthodeest plus courte, souvent plus exacte, et tient toujours lieu, dans la pratique,de la méthode directe. Cette méthode indirecte a été employée avec succès parla Caille , dans ses Recherches sur le soleil ; elle est fondée sur les deux théo-rèmes (490, 491 ), que nous allons démontrer d'une maniéré très simple , aprteavoir établi des lemmes qui ne se trouvent pas dans les livres élémentaires.

487. i FMmF. I. Dans une ellipse AMP, à laquelle on a circonscrit un cercleAN P, CX étant la ligne de /’ anomalie moyenne ( 483 ), M le vrai lieu de laplanete , HMN l'ordonnée qui passe par le lieu de la planète ; le secteur circu-laire A NSA est toujours égal au secteur circulaire ACX de l’anomalie moyenne.

DiüoîtsTRATioN. Soit T le tems entier de la révolution de la planete , et tle tems qu’elle a employé à aller de A en M; on aura, par la réglé des aires pro-

r ortionnelles aux tems, t est à T comme le secteur A M S est à la surface deellipse : de même, puisque ACX est l’anomalie moyenne, on aurai est i T«omme ACX est i la surface du cercle; donc AMS est à ACX comme lasurface de l'ellipse est à la surface du cercle. Mais par la propriété de l’ellipse,démontrée dans tous les livres de sections coniques, AMS est à ANS commela surface de l’ellipse est à la surface du cercle : nous avons donc deux propor-tions qui ont trois termes communs, savoir AMS, la surlace de l'ellipse, et lasurface du cercle; le terme qui paroît différent est donc nécessairement lemême; donc ACX et ANS sont égaux entre eux. C. Q. F. D.

488. Lxmue II. Dans tout triangle rectangle MRS (fig. 56,7 si l’angle RSM•st divisé en deux parties égales , la tangente de la moitié de l’angle RSMR M

sera égale à L* r ayant pris SE = SM, on aura l’angle B égal k la

moitié de l’angle S; et pareeque RB ; R࣠I tang. B, cette ttng.RM RM RM ' 9

rr-tr = -— *= - .. . e-.