on en ajoutant Pz — Pz au premier membre de cetteinégalité»
Qz’ + P(*’4-z) — ^Pz+P > 0.
Q z* est le moment du voussoir bc, pris par rapportà l'Arête c; P -J-x) est le moment du voussoir a b,pris par rapport à la même arête: par conséquent lasomme de ces deux expressions est égale au momenttotal MA de la demi-voûte, pris par rapport à l’arête c.
M = Q -+- P, poids de la demi-voûte ;
A, distance horizontale du centre de gravité de la de-mi-voûte à l’arête c.
Le second terme de l’inégalité précédente devient, enréduisant au même dénominateur
Pî y+Ly_p H f
— P
y J
> o.
y y
H = y y\ hauteur totale de la voûte.
L’inégalité précédente devient donc en définitive
MA —PH- ou H ( ^y V H
Il y aura rupture quand le terme négatif sera plusgrand que le terme positif, équilibre quand il lui seraégnl, et stabilité quand il sera plus petit.
MA
Le terme -r- étant constant, et celui P - étant seulH y
variable, il est évident que si une voûte doit se rompre,
ce sera au point pour lequel P - est maximum : ainsi
la première chose à faire pour s’assurer qu’une voûterésistera, c’est de déterminer la position du joint qui
donne P ^ maximum.
y
Il convient de remarquer que dans cette rechercheon n’a à considérer que le voussoir supérieur, et queles joints pour lesquels on doit calculer les valeurs cor-respondantes de P, y et z, doivent être choisis voisinsde celui que l’on croit de rupture. Il est convenableaussi d’observer que, pour abréger les calculs, les va-leurs de P sont proportionnelles aux surfaces cor-respondantes de la section de la voûte, et les va-leurs de y et z, données par ces surfaces, étant lesmêmes que pour les portions correspondantes de lavoûte, il conviendra d'opérer sur ces surfaces pour dé-terminer les valeurs successives dey etdez. La positiondu joint de,rupture sera déterminée par la valeur
j z
maximum du produit de - par la surface correspon-dante du voussoir.
Si on arrivait à une valeur de P - trop grande, on
augmenterait la largeur des pieds-droits de manière àfaire croître convenablement MA.
Ce qui vient d’être dit s’applique aux voûtes sur-baissées comme aux voûtes en plein cintre.
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que lavoûte n’avait à supporter que son propre poids ; mais or-dinairement elle est surmontée d’un massif de maçonne-rie formant une surface horizontale au-dessus de la voûteet des pieds-droits; de plus, encore, ce massif supporteordinairementune surcbargeaccidentelleou permanente.Dans ces divers cas, les poids P,Q,M comprennent nonseulement ceux des parties correspondantes de la voûteproprement dite, mais aussi ceux des massifs de ma-çonnerie et les portions de surcharges qui reposent surces parties de la voûte. On a également égard à cespoids additionnels endétermiu&nt les positions des cen-tres de gravité. %
Il convient de faire à une grande échelle l’épure qui«f'rt à déterminer le joint de rupture; cela aide a Hxer
la position des centres de gravité, ainsi qu'à calculer les *surfaces et, par suite, les poids des diverses parties devoûte que l’on a à considérer.
2° Le deuxième cas de rupture d'une coûte a lieu lors
z
que, par l’effet de la force horizontale maximum P -
y
du voussoir agissant, la culée ou pied-droit glisse sur sabase. Il est évident que ce glissement ne pourra se pro-duire quand on aura
MK> P
y
K, coefficient du frottement de la culée sur sa base;on peut le faire égal à 0,76.
Les autres lettres ont la même signification qu’au casprécédent.
3° Le troisième cas de rupture d’une voûte se pré -sente quand, par la forme de la voûte ou par le mode derépartition delà charge, les pieds-droits tendent à tom-ber en avant ; alors la voûte s’ouvre à l’intérieur, auxreins, et à l’extérieur, à la clef, comme l’indique la fi-gure 2559. Ce cas peut être considéré comme exception-nel, et on peut généralement se dispenser de faire lescalculs suivants :
On établit les conditions d’équilibre comme dans lepremier cas, en prenant pour axes de rotation des vous-soirs les arêtes o, b,c; et pour qu’il y ait stabilité, ontrouve que l’on doit avoir
T ,/_z MA\ A , . z MA
H ( P-rr- ) > 0 , c est a-dire P - >
\ y H J y H
H = a d, hauteur de la voûte, mesurée à l’intrados ;
M, poids de la demi-voûte ;
A, distance horizontale des centres de gravité de lademi-voûte à l’arête de rotation c ;
P, poids du voussoir agissant a b ;
z, distance horizontale du centre de gravité du vous-soir agissant à l’arête de rotation b ;
v, distance verticale des arêtes de rotation a et b.
. . MA
Si on n arrivait pas a r - > , on ajouterait un
massif de maçonnerie au pied-droit, en dehors de l’a-rête c. Dans ce troisième cas de rupture, ainsi que dansle deuxième, on a, comme dans le premier, égard à lamaçonnerie et à la surcharge qui peuvent reposer sur lavoûte.
Épaisseur des voûtes à la clef. La méthode qui vientd’être exposée pour déterminer s’il y a stabilité dansune voûte projetée, ne conduit que par tâtonnement auxdimensions qu’il convient définitivement d’adopter, enfaisant diverses hypothèses sur l’épaisseur de la voûte.Afin de ne pas agir au hasard, on a recours, pour fixerle départ de ces suppositions, à la formule empiriquesuivante, que Perronnet a déduite de ses observations ,
e = 0, OMld+Qny&o.
e, épaisseur de la voûte à la clef en mètres ;
d t distance des pieds-droits, si la voûte est en plein-cintre ; dans les voûtes surbaissées, d exprime le doubledu rayon qui a servi à décrire la directrice de l’intradosdans les voûtes en arc de cercle, et l’arc supérieur de cettedirectrice dans les voûtes en anse de panier.
Comme, pour des valeurs de d supérieures à 30®, laformule donne des épaisseurs trop fortes, il conviendradans ces cas de se guider, pour sa première hypothèse,sur les constructions existantes.
Partant de l’épaisseur à la clef ainsi trouvée, on dé-termine, comme il a été indiqué plus haut, le joint de
. z
rupture, et, par suite, la poussée horizontale P-de
chaque voussoir agissant sur U voussoir résistant. Sicette poussée s’exerçait uniformément sur toute la hau-teur e du joint à la clef, il serait facile de calculer quelle
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